针对您提出的“派遣员工没有劳动合同怎么办”这一问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、确认劳动关系及责任主体
首先，需要明确的是，即使未签订书面劳动合同，只要您作为劳动者提供了劳动，并且劳务派遣单位接受了您的劳动并支付了劳动报酬，那么您与劳务派遣单位之间就存在事实劳动关系。在此情况下，劳务派遣单位作为用人单位，有义务与您签订劳动合同。若未签订，则劳务派遣单位需承担主要法律责任。同时，如果实际用工单位在明知劳务派遣单位未与您签订合同的情况下仍使用您的劳动力，那么实际用工单位也需承担连带责任。
二、维权措施及步骤
收集证据：
- 您需要收集能够证明您与劳务派遣单位存在事实劳动关系的证据，如工作证、工作服、考勤记录、工资发放记录、往来邮件、短信等。这些证据将在后续的维权过程中起到关键作用。
协商解决：
- 在收集到足够证据后，您可以主动与劳务派遣单位和实际用工单位进行沟通，要求签订劳动合同并支付相应的补偿（如双倍工资差额）。在协商过程中，建议您留存好相关证据，如谈话录音、会议记录等，以备不时之需。
投诉或举报：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门进行投诉或举报，请求其对劳务派遣单位的违法行为进行查处。劳动监察部门将会对您的投诉进行调查，并根据调查结果采取相应的措施。
申请劳动仲裁：
- 若投诉或举报后问题仍未得到解决，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要提交仲裁申请书及相关证据材料，包括证明存在事实劳动关系的材料和双方身份信息等。仲裁请求可以包括签订劳动合同、支付双倍工资差额、赔偿损失等。
提起诉讼：
- 如果对仲裁裁决结果不满，您可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要遵循诉讼程序并提供充分的证据来支持自己的主张。
三、确定被告及法律责任
在维权过程中，您需要明确被告是谁以及被告应承担的法律责任。一般来说，劳务派遣单位是主要的被告，当其未履行法定义务时（如未支付劳动报酬或未缴纳社保），您需要向其主张权利。同时，如果实际用工单位也侵害了您的权益（如违反劳动安全卫生规定），那么您也可以将其列为共同被告。
四、法律依据及要点提示
- 根据《劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。这是您主张双倍工资差额的法律依据。
- 根据《劳动争议调解仲裁法》第二条的规定，因确认劳动关系、订立劳动合同等发生的争议属于劳动争议范围，您可以通过仲裁或诉讼等方式解决。
- 需要注意的是，劳动者应在知道或应当知道自己权利被侵害之日起一年内申请仲裁。同时，双倍工资的主张也有一年的时效限制，从用工满一个月的次日开始计算，最多可主张十一个月的双倍工资。
综上所述，作为派遣员工，如果您没有签订劳动合同，不要慌张和放弃维权。您可以通过收集证据、协商解决、投诉举报、申请仲裁和提起诉讼等方式来维护自己的合法权益。同时，也希望劳务派遣单位和实际用工单位能够遵守相关法律法规，确保劳动者的合法权益得到充分保障。