针对员工提出未签劳动合同的问题，这确实是一个需要重视且及时处理的情况。以下是从员工和单位两个角度出发，给出的详细解答和建议：
对员工而言
收集证据：
- 首要任务是收集和保留能证明你与单位存在劳动关系的证据。这些证据可以包括工资支付凭证、社保缴纳记录、工作证、招工招聘登记表、考勤记录，以及其他同事的证言等。这些证据在后续的法律程序中会起到至关重要的作用。
沟通与协商：
- 主动与单位沟通，明确说明未签合同的情况，并要求单位尽快补签劳动合同。在沟通过程中，建议采取书面形式（如邮件、短信）或面谈并录音的方式，以便保留好沟通记录，作为后续可能的法律程序的证据。
主张双倍工资赔偿：
- 根据《劳动合同法》的规定，如果单位自用工之日起超过一个月不满一年未与你订立书面劳动合同，你有权要求单位支付每月二倍的工资。如果单位拒绝补签或支付，你可以在劳动争议发生之日起一年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
解除劳动关系与经济补偿：
- 你还可以以单位未依法签订劳动合同为由，解除与单位的劳动关系，并要求单位按照你的工作年限支付经济补偿金。
根据入职时间采取不同策略：
- 如果入职未满一个月，可与单位协商尽快签订劳动合同。
- 如果入职超过一个月不满一年，除协商外，可主张双倍工资赔偿。
- 如果入职超过一年，视为已订立无固定期限劳动合同，但仍可主张自入职第二个月起至满一年期间的双倍工资赔偿，并要求单位补签劳动合同。
对单位而言
及时补签合同：
- 一旦发现未与员工签订劳动合同，单位应立即与员工协商补签，并确保合同条款符合法律法规规定，明确双方的权利和义务。
承担法律责任：
- 如果因未签劳动合同导致员工主张双倍工资赔偿，单位应按照法律规定进行支付，以避免进一步的法律纠纷和更大的损失。
规范用工管理：
- 单位应完善劳动合同管理制度，确保新员工入职时及时签订劳动合同，并安排专人负责合同的签订、保管等工作。同时，加强对法律法规的学习，提高依法用工的意识和水平。
根据入职时间采取应对措施：
- 对于入职未满一个月的员工，应尽快完成劳动合同的签订工作。
- 对于入职超过一个月不满一年的员工，应主动与员工协商补签劳动合同，并准备支付可能的双倍工资赔偿。
- 对于入职超过一年的员工，应视为已订立无固定期限劳动合同，但仍需补签书面劳动合同，并支付自入职第二个月起至满一年期间的双倍工资赔偿。
额外建议
- 对于单位：建议建立合同管理台账，记录合同签订状态、到期提醒、续签跟踪等信息，使用HR系统或电子表格实现动态管理。同时，完善入职流程，将合同签订纳入新员工入职必办事项清单，并明确各部门职责。
- 对于员工：在主张权益时，保持冷静和理性，通过合法途径解决问题。如果与单位协商无果，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地维护自己的合法权益。
综上所述，单位与员工在未签劳动合同的情况下，双方都应积极采取措施解决问题。员工应注重证据的收集与保留，通过合法途径维护自身权益；单位则应及时补签合同，承担法律责任，并规范用工管理，以避免类似情况的再次发生。