针对您家中老鸡一夜间被咬死，想要向政府部门申请赔偿的问题，首先需要明确的是，直接向政府部门申请赔偿通常需要有明确的法律依据和事实支持，即需要证明政府部门的过错或违法行为与您的损失之间存在因果关系。在您描述的情况下，这通常是比较困难的，因为老鸡被咬死更可能是一个意外事件或由第三方（如野生动物、他人家的宠物等）造成，而非政府部门的直接行为。不过，我可以从几个角度为您提供一些分析和建议：

1. 尝试确定责任主体：

   • 调查原因：首先，您需要尽可能调查清楚老鸡被咬死的具体原因。如果是野生动物（如狐狸、黄鼠狼等）所为，那么这通常属于自然事件，政府部门可能不承担赔偿责任。
   • 第三方责任：如果老鸡是被他人家的宠物（如狗）咬死，那么您可以尝试与宠物主人协商赔偿事宜。如果协商不成，您可以考虑通过法律途径（如起诉）来维护自己的权益。

2. 考虑政府部门的可能责任：

   • 监管不力：在极少数情况下，如果政府部门在野生动物管理或宠物管理方面存在明显的监管不力，且这种不力与您的损失之间存在因果关系，那么您可能有权要求政府部门承担一定的赔偿责任。但这种情况通常需要严格的证据支持，并且赔偿的金额和范围也会受到法律的严格限制。
   • 环境因素：如果老鸡的死亡是由于政府部门的环境污染行为（如化学物质泄漏）导致，且您能提供充分的证据证明这一点，那么您可以依据相关法律法规向政府部门提出赔偿要求。

3. 申请赔偿的具体步骤（在确定有政府部门责任的情况下）：

   • 收集证据：包括现场照片、视频、目击者证言、专家鉴定意见等，以证明您的损失以及政府部门可能存在的过错或违法行为。
   • 提交申请：向相关部门（如环保局、林业局、动物卫生监督所等）提交书面赔偿申请，详细说明损失情况、责任主体和赔偿要求。
   • 协商与诉讼：如果政府部门拒绝赔偿或双方无法达成赔偿协议，您可以考虑通过协商、调解或诉讼等法律途径来解决争议。

4. 其他建议：

   • 加强防范：为了防止类似事件再次发生，您可以考虑加强家禽的防护措施，如安装围栏、使用防兽设备等。
   • 了解政策：了解当地政府关于野生动物管理、宠物管理以及环境污染赔偿等方面的政策法规，以便在需要时能够及时维护自己的权益。

总结来说，直接向政府部门申请赔偿老鸡被咬死的损失通常是比较困难的，除非您能证明政府部门的过错或违法行为与您的损失之间存在明确的因果关系。在大多数情况下，您可能需要通过其他途径（如与第三方协商、提起诉讼等）来维护自己的权益。如果您有任何进一步的疑问或需要法律帮助，请随时向我咨询。