结论：是否需要赔偿邻居家被狗咬死的鸡，需根据具体情况判断，主要看您是否存在过错。若您未尽到合理管理义务，可能需要承担一定责任；若您已尽到管理义务且无过错，则通常无需赔偿。

一、从过错责任角度分析

1. 若您存在过错：

   • 根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的一般规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
   • 在此情况下，如果您未对狗进行合理管理（如未拴好狗链、未设置围栏等），导致狗能够自由进入您的院子并咬死邻居的鸡，那么您可能因未尽到管理义务而存在过错。
   • 法律建议：若您存在过错，建议与邻居协商赔偿事宜，以避免纠纷升级。赔偿金额可参考鸡的市场价值、饲养成本等因素。

2. 若您不存在过错：

   • 如果您已经对狗进行了合理管理（如拴好狗链、设置围栏等），且邻居的鸡是自行跑进您的院子被狗咬死，那么您可能不存在过错。
   • 在此情况下，根据侵权责任的过错原则，您通常无需对邻居的损失承担赔偿责任。
   • 法律建议：若您不存在过错，可向邻居解释情况，并出示相关证据（如狗链、围栏照片等）以证明自己已尽到管理义务。

二、从公平责任角度分析（少数观点）

• 在某些特殊情况下，即使您不存在过错，法院也可能根据公平原则，要求您承担一定的补偿责任。这通常发生在双方均无过错，但一方遭受了较大损失的情况下。
• 法律建议：若法院根据公平原则要求您承担补偿责任，您可与邻居协商补偿金额，或请求法院根据实际情况进行裁决。但这种情况较为少见，且补偿金额通常较低。

三、实际操作建议

1. 保留证据：无论您是否存在过错，都建议保留相关证据（如狗链、围栏照片、邻居鸡跑进院子的监控视频等），以备不时之需。
2. 协商解决：在发生纠纷后，建议首先与邻居进行协商，尝试通过友好方式解决纠纷。
3. 寻求法律帮助：若协商无果，或您对法律责任存在疑问，可向我咨询，我会根据您的具体情况提供法律建议。

总结：是否需要赔偿邻居家被狗咬死的鸡，需根据您是否存在过错来判断。若您存在过错，可能需要承担一定责任；若您不存在过错，则通常无需赔偿。在处理此类纠纷时，建议保留证据、协商解决，并在必要时寻求法律帮助。