结论：老板的说法是不完全正确的，因为家里老人突然病了不能上班，这属于因特殊原因需要离职的情况，并不一定需要提前一个月通知，且老板不能以此为由拒绝支付工资。
详细分析：
关于离职通知期：
- 通常情况下，根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者解除劳动合同，应当提前三十日以书面形式通知用人单位。这是为了保障用人单位有足够的时间来安排工作交接和寻找替代人员。
- 然而，在特殊情况下，如劳动者因家庭突发重大变故（如老人突然病重需要照顾）等不可抗力因素，导致无法继续履行劳动合同，且情况紧急，劳动者可能无法提前三十日通知用人单位。在这种情况下，劳动者可以与用人单位协商解除劳动合同，或者根据用人单位的规章制度和实际情况，适当缩短通知期。
关于工资支付：
- 无论劳动者因何种原因离职，只要劳动者已经提供了劳动，用人单位就应当按照劳动合同的约定和国家规定，向劳动者及时足额支付劳动报酬。这是劳动者的基本权利，也是用人单位的法定义务。
- 因此，老板不能以劳动者未提前一个月通知离职为由，拒绝支付工资。如果老板这样做，劳动者有权向劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
建议与行动：
- 与老板沟通：首先，你可以尝试与老板进行沟通，解释家里老人病重的情况，以及你因此无法继续工作的原因。希望老板能够理解你的处境，并同意你适当缩短通知期，同时支付你应得的工资。
- 收集证据：如果与老板沟通无果，你可以开始收集相关证据，如劳动合同、工资条、工作记录等，以证明你与用人单位之间的劳动关系以及你的工作表现。
- 申请劳动仲裁：如果老板仍然拒绝支付工资，你可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，你需要提交仲裁申请书、相关证据材料以及你的身份证明等文件。劳动仲裁委员会将会对你的申请进行审理，并作出裁决。
后续思考：
- 在未来的工作中，你可以考虑与用人单位签订劳动合同时，就特殊情况下的离职通知期和工资支付等问题进行明确约定，以避免类似纠纷的发生。
- 同时，你也可以关注和学习相关的劳动法律法规，提高自己的法律意识和维权能力。
如果你还有其他关于劳动工伤（工资福利）方面的问题，或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。