结论前置：家属通常不直接拥有拷贝交通事故监控录像的权利，但可以通过特定途径依法申请查看并可能获得拷贝。
一、向交警部门申请查看与拷贝
法律依据与申请程序：
- 根据《道路交通事故处理程序规定》，当事人及其代理人有权查阅、复制、摘录公安机关交通管理部门处理道路交通事故的证据材料，其中包括监控录像。家属作为事故当事人的近亲属，在符合一定条件下（如提供与事故当事人的关系证明、说明查看及拷贝的目的等），可以向处理该起事故的交警部门提出申请。
- 交警部门会依据案件具体情况和相关规定，审核决定是否允许家属在特定场所、按照一定程序查看监控视频。若允许，家属通常可以拷贝到与事故直接相关的时间段录像。
拷贝限制与注意事项：
- 即便允许查看，交警部门也不一定会同意拷贝全部视频资料。通常，只允许拷贝与事故直接相关的时间段录像，以确保信息的准确性和针对性，同时保护其他时间段内可能涉及的隐私信息。
- 家属在申请时，应提供合理理由和证明其与事故的关联性，并遵守交警部门的相关规定和程序。
二、通过诉讼程序获取
诉讼阶段与申请：
- 如果事故涉及诉讼（如民事赔偿诉讼），家属作为当事人或其代理人，可以在诉讼过程中通过法定程序向法院申请调取相关监控视频作为证据。
- 法院在审理案件时，若认为该视频对查明案件事实有重要作用，会依法要求交警部门提供。此时，家属可能通过合法的司法程序获得视频的拷贝件。
法院裁定与证据效力：
- 法院的裁定具有法律效力，交警部门需配合提供相关视频资料。家属获得的视频拷贝件将作为证据在诉讼中使用，其证据效力受法律保护。
三、通过律师申请调查令
律师协助与调查令申请：
- 若家属无法通过直接途径从交警部门获取视频，可以委托专业律师向人民法院申请调查令。律师将代表家属向法院提出申请，并说明调查的必要性和合理性。
- 法院在审核后，若认为申请符合法律规定和案件需要，会签发调查令。
调查令效力与视频调取：
- 律师持调查令可向交警部门调取视频监控。此方式更为正式且法律程序化，但需耗费一定时间。家属应耐心等待并配合律师的工作。
四、法律规定与隐私保护
法律依据与隐私保护原则：
- 根据相关法律法规，当事人在提出主张时需及时提供证据。同时，应尊重他人的隐私权，不得将视频资料用于非法用途或泄露给无关人员。
- 若视频涉及国家秘密、商业秘密或者个人隐私，以及应当事人、证人要求保密的内容，拷贝可能会受到限制。家属在申请时，应遵守相关法律法规和隐私保护原则。
完整性与真实性保障：
- 拷贝的视频资料应确保完整性和真实性，不得进行篡改或伪造。这是维护证据效力和法律公正性的基础。家属在获得视频拷贝件后，应妥善保管并避免对其进行任何修改或处理。
总结与建议：家属在尝试拷贝交通事故监控录像时，应充分了解并遵循相关法律程序和规定。通过向交警部门申请、通过诉讼程序获取或委托律师申请调查令等途径，依法维护自身权益。同时，应尊重他人的隐私权和法律法规的规定，确保行为的合法性和正当性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。