结论前置：在交通事故处理过程中，当事人没有直接权利自行保存监控视频，但有权通过合法途径申请查看或调取监控录像，以作为事故责任认定的重要证据。

详细分析：

1. 监控视频的权属与管理：

   • 交通监控设施通常由交通管理部门（如交警部门）、相关公共管理机构或特定场所的管理方安装和维护。这些监控资料属于管理部门在履行职责过程中产生和保存的信息资源，因此，当事人一般没有直接保存或录制的权利。

2. 合法获取监控视频的途径：

   • 申请交警部门调取：在交通事故处理过程中，当事人可以向负责处理事故的交警部门提出申请，说明需要查看监控视频对于事故责任认定等方面的重要性。交警部门会根据案件需要和相关规定，决定是否调取并提供相关监控视频资料作为认定事故责任的重要证据参考。
   • 法律程序获取：如果事故进入诉讼阶段，当事人及其委托的律师可以通过向法院申请调查令等法律程序，要求相关管理部门提供监控视频作为证据。

3. 查看监控录像的权利与程序：

   • 当事人有权向处理事故的交警部门申请查看监控录像，以了解事故的具体情况。但这一权利的行使需遵循交警部门的相关规定和程序，如填写申请表、提供身份证明等。
   • 交警部门会根据案件的需要和相关规定，决定是否允许当事人查看以及在何种条件下查看，如查看时间、地点、方式等。

4. 私自录制监控的法律后果：

   • 私自录制监控可能涉嫌违法，如侵犯他人隐私权、干扰正常的执法和调查程序等。因此，当事人应严格遵守相关法律法规，不得私自录制监控视频。
   • 如果当事人私自录制监控视频并用于非法目的，如敲诈勒索、诽谤他人等，将可能面临法律责任，包括民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任。

5. 特殊情况下的处理：

   • 如果当事人认为交警部门不配合调取监控录像，或者认为监控录像的调取和使用存在违法行为，可以向上一级单位反映，或者向上一级交管部门申请行政复议，甚至向人民法院起诉其行政不作为或违法行为。

总结与建议： 在交通事故处理过程中，当事人应遵守相关法律法规，不得私自录制或保存监控视频。如果需要查看或调取监控录像作为证据，应通过合法途径向交警部门或法院申请。同时，当事人应保留好与事故相关的其他证据，如现场照片、证人证言等，以便在事故责任认定过程中提供有力支持。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。