原告一般不可以直接要求劳务派遣公司和用工单位之间签订劳动合同，但可以根据具体情况要求二者承担相应的法律责任。以下从不同角度进行分析：
一、劳务派遣关系中的合同签订主体
在劳务派遣关系中，通常存在两个合同：一是劳务派遣公司与被派遣劳动者之间签订的劳动合同，二是劳务派遣公司与用工单位之间签订的劳务派遣协议。原告作为被派遣劳动者，其劳动合同是与劳务派遣公司签订的，而非直接与用工单位签订。因此，从合同签订的角度来看，原告无权直接要求劳务派遣公司和用工单位之间签订劳动合同。
二、原告的权利与救济途径
尽管原告不能直接要求劳务派遣公司和用工单位之间签订劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，原告在劳务派遣关系中仍享有一定的权利，并可以通过法律途径寻求救济：
要求劳务派遣公司履行义务：
- 劳务派遣公司作为与原告签订劳动合同的用人单位，应当履行用人单位的义务，如支付劳动报酬、提供劳动条件、保障劳动安全等。
- 如果劳务派遣公司未履行这些义务，原告有权要求其履行，并可以通过劳动争议仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。
要求用工单位承担连带责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条的规定，用工单位给被派遣劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任。
- 这意味着，如果用工单位的行为导致原告受损（如未提供安全的工作环境、未支付加班费等），原告可以要求用工单位承担赔偿责任，同时也可以要求劳务派遣公司承担连带责任。
在特定情况下主张与用工单位存在事实劳动关系：
- 在某些特殊情况下，如劳务派遣公司未与原告签订劳动合同、未支付劳动报酬等，且用工单位实际使用原告的劳动力并对其进行管理，原告可能主张与用工单位存在事实劳动关系。
- 但这种情况需要具体分析，且原告需要承担相应的举证责任。如果法院认定原告与用工单位存在事实劳动关系，那么原告将有权要求用工单位履行用人单位的义务。
三、实际操作建议
收集证据：
- 原告在主张权利时，应尽可能收集相关证据，如劳动合同、劳务派遣协议、工资单、工作证、考勤记录等，以证明自己的劳动关系和受损情况。
咨询专业律师：
- 由于劳务派遣关系涉及多个主体和复杂的法律关系，原告在主张权利时可能会遇到诸多困难。因此，建议原告在必要时咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。不过，在这里你可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律指导。
选择合适的救济途径：
- 根据具体情况，原告可以选择通过劳动争议仲裁、诉讼等途径维护自己的合法权益。在选择救济途径时，应充分考虑成本、效率等因素。
综上所述，原告一般不可以直接要求劳务派遣公司和用工单位之间签订劳动合同，但可以根据具体情况要求二者承担相应的法律责任。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。