结论：更换三方公司后，原公司不让续签劳动合同，员工是否有赔偿以及该行为是否合法，需根据具体情况来判断。以下从不同角度进行分析：
一、原公司不让续签劳动合同的合法性
劳动合同到期终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，如果双方没有续签的意愿或条件，劳动合同即行终止。在此情况下，原公司不让续签劳动合同，从法律层面讲，并不构成违法。
- 但需注意的是，如果劳动合同到期时，员工存在《劳动合同法》第四十二条规定的情形（如患病或非因工负伤在规定的医疗期内、女职工在孕期产期哺乳期等），原公司不得终止劳动合同，而应续延至相应的情形消失时终止。
公司单方面不续签：
- 如果劳动合同到期，公司单方面决定不续签，且没有合法理由（如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等），则可能构成违法终止劳动合同。但这种情况与“更换三方公司”无直接关联，而是与公司自身的用工决策有关。
二、员工是否有赔偿
经济补偿金：
- 如果劳动合同到期，公司决定不续签，且没有合法理由，根据《劳动合同法》第四十六条的规定，公司应向员工支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准为：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：\(经济补偿金 = 工作年限 \times 月工资\)（其中，月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）
特殊情况下的赔偿：
- 如果公司违法终止劳动合同（如员工存在《劳动合同法》第四十二条规定的情形而公司仍终止合同），员工除可以要求支付经济补偿金外，还可以要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿金的两倍。
- 如果因更换三方公司导致员工权益受损（如原公司未依法支付经济补偿金、未办理社保转移等），员工也可以依法维权，要求原公司承担相应的法律责任。
三、更换三方公司的影响
- 更换三方公司本身并不直接影响员工与原公司之间的劳动合同关系。但如果更换三方公司后，原公司以此为由拒绝续签劳动合同，且没有合法理由，则可能构成违法。
- 员工在更换三方公司时，应关注自己的劳动合同是否到期、是否满足续签条件等，以维护自己的合法权益。
建议：
- 如果您遇到更换三方公司后原公司不让续签劳动合同的情况，首先应查看自己的劳动合同是否到期以及是否存在续签的可能。
- 如果劳动合同到期且公司决定不续签，您可以要求公司支付经济补偿金。如果公司拒绝支付或存在其他违法行为，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
- 在整个过程中，建议您保留好相关证据（如劳动合同、工资单、公司通知等），以便在维权时使用。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。