结论：在此情况下，肇事车驾驶员可能会承担民事赔偿责任，若其行为构成交通肇事逃逸，还可能面临行政处罚，甚至刑事责任（视具体情节严重程度而定）。以下是对此问题的详细分析：
一、民事赔偿责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十六条：“违反管理规定，未对动物采取安全措施造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。” 但此条款主要针对的是动物对他人造成损害的情况。对于机动车碾压宠物狗的情况，更直接相关的可能是《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的一般规定，即第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”
- 同时，若宠物狗有合法的饲养手续，且驾驶员存在过错（如未减速、未注意观察等），则驾驶员应承担相应的赔偿责任。
赔偿范围：
- 赔偿范围通常包括宠物狗的市场价值、饲养费用（如已产生的医疗费用、食物费用等，若因事故导致宠物狗死亡，则主要考虑市场价值）、以及因宠物狗死亡给饲养人造成的精神损害抚慰金（此部分赔偿需根据具体情况和法院判决来确定）。
二、行政处罚
法律依据：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条：“有下列行为之一的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款：（三）造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的；”
处罚措施：
- 驾驶员若因逃逸被查实，将面临罚款，并可能被吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得机动车驾驶证（若逃逸行为构成犯罪，则处罚更为严厉）。
三、刑事责任（视具体情节严重程度而定）
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条：“违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。”
刑事责任认定：
- 在此案例中，若驾驶员的逃逸行为并未导致人员伤亡或重大财产损失，则一般不构成交通肇事罪。但是，如果逃逸行为本身被认定为情节恶劣（如多次逃逸、逃逸后导致交通拥堵或引发其他事故等），或者驾驶员有酒驾、毒驾等加重情节，则可能面临刑事责任。不过，就单纯碾压宠物狗并逃逸而言，构成交通肇事罪的可能性较小，但仍需根据具体情节由司法机关判断。
四、建议
对于宠物狗饲养人：
- 立即报警并保留相关证据（如现场照片、视频、目击者证言等），以便后续维权。
- 若可能，尝试通过监控录像等手段查找肇事车辆信息。
对于肇事车驾驶员：
- 应立即停车并报警，配合警方调查。
- 若已逃逸，应尽快自首并承担相应责任，以减轻处罚。
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