结论：公司开除入职仅九个月的员工，若开除行为不合法，员工有权要求公司支付赔偿金或继续履行合同；若开除行为合法，则员工一般无法获得额外补偿，但需关注公司是否依法支付了经济补偿（如有）。以下从不同角度展开分析：

1. 开除行为是否合法

• 合法开除的情形：若员工存在《劳动合同法》第39条规定的情形（如严重违反公司规章制度、严重失职造成重大损害、被依法追究刑事责任等），公司有权单方解除劳动合同，且无需支付经济补偿。此时，员工需确认公司是否已举证证明其存在上述过错。
• 违法开除的情形：若公司无法证明员工存在过错，或未履行法定程序（如未提前30日通知、未听取工会意见等），则构成违法解除。此时，员工可主张：
  • 赔偿金：按工作年限计算，每满1年支付2个月工资（9个月按1年计算，即2个月工资）；
  • 继续履行合同：若员工希望保留工作，可要求公司撤销解除决定，恢复劳动关系。

2. 经济补偿的计算

• 合法解除时的补偿：若公司因《劳动合同法》第40条（如医疗期满、不能胜任工作等）或第41条（经济性裁员）解除合同，需支付经济补偿：按工作年限，每满1年支付1个月工资，9个月支付1个月工资。
• 违法解除时的赔偿：如前所述，赔偿金为经济补偿的2倍（即2个月工资）。

3. 员工应如何维权

• 收集证据：保留劳动合同、工资记录、解除通知、公司规章制度等材料，证明劳动关系及开除事实。
• 协商或投诉：与公司协商解决，或向当地劳动监察大队投诉（适用于公司未支付工资、加班费等情形）。
• 申请仲裁：向劳动争议仲裁委员会提起仲裁，主张赔偿金或继续履行合同（需在解除后1年内提出）。
• 提起诉讼：对仲裁结果不服的，可在15日内向法院起诉。

4. 特殊情形提示

• 试用期开除：若员工仍在试用期内，公司需证明其不符合录用条件（如未通过考核、提供虚假信息等），否则构成违法解除。
• 无固定期限合同：若员工已符合签订无固定期限合同的条件（如连续工作满10年），公司违法解除的赔偿标准可能更高。

建议：您可先与公司沟通，明确开除原因及补偿方案；若协商无果，建议尽快申请劳动仲裁，避免超过时效。如有具体证据或细节需要分析，可随时向我咨询，我会结合您的实际情况提供进一步指导。