结论：用人单位不与员工签订劳动合同且要开除员工的行为，违反了我国劳动法律法规的相关规定，员工有权要求用人单位承担相应的法律责任，并可以通过法律途径维护自己的合法权益。
一、关于不签订劳动合同的法律责任
法律责任概述：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果用人单位未与员工签订劳动合同，员工有权要求用人单位支付双倍工资作为赔偿。
具体法律后果：
- 如果用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。此时，员工虽然未签订书面合同，但已与用人单位形成了事实上的劳动关系，且这种关系是无固定期限的。
二、关于开除员工的法律责任
合法开除的条件：
- 用人单位开除员工必须符合法律规定的条件，如员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等。如果用人单位无正当理由开除员工，则构成违法解除劳动合同。
违法开除的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准根据劳动者在用人单位的工作年限和月工资确定。
三、员工应如何维护自己的合法权益
收集证据：
- 员工应首先收集与用人单位存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录等。同时，如果用人单位有开除员工的书面通知或相关证据，也应一并收集。
与用人单位协商：
- 在收集到足够证据后，员工可以尝试与用人单位进行协商，要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，员工需要提交仲裁申请书、相关证据材料以及身份证明等文件。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，员工还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，员工需要提供充分的证据来支持自己的主张。
四、特别提醒
- 在整个过程中，员工应保持冷静和理性，避免与用人单位发生不必要的冲突。同时，员工也可以寻求法律援助或咨询专业律师的意见，以便更好地维护自己的合法权益。
作为李再庆律师，我专注于建设工程、公司事务领域，同时也对劳动纠纷有深入的了解。如果您在劳动合同签订、劳动工伤或劳动仲裁等方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。