核心结论：劳动合同到期后，双方对新合同条件未达成一致，劳动者继续上班，公司若要解除合同，需遵循法定程序并承担相应责任，具体分情况如下：

1. 公司提出不续签或降低条件导致不续签
   若公司明确表示不续签合同，或提出降低原合同条件（如薪资、岗位等）导致劳动者拒绝续签，根据《劳动合同法》第四十六条第五项，公司需向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
   操作建议：公司应书面通知劳动者不续签，并明确补偿金额及支付方式，避免口头沟通引发争议。

2. 公司维持或提高条件但劳动者拒绝续签
   若公司提出维持或提高原合同条件，但劳动者因个人原因拒绝续签，根据《劳动合同法》第四十六条，公司无需支付经济补偿。但需注意：

   • 公司需保留证据证明已提出维持或提高条件的续签意向（如书面通知、邮件等）；
     
   • 若劳动者继续上班，公司需在合理期限内明确拒绝续签的意思表示，否则可能被认定为默认续签。

3. 劳动者继续上班，公司未明确表态
   若劳动合同到期后，劳动者继续提供劳动，公司未表示异议且未续签书面合同，根据《劳动合同法》第八十二条及《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条，可能被认定为双方按原合同条件继续履行，但公司需自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日支付双倍工资（最长不超过11个月）。
   风险点：若超过一年未续签，视为订立无固定期限劳动合同，公司此后解除合同需符合法定情形（如协商一致、劳动者过错等），否则可能构成违法解除，需支付赔偿金（经济补偿的二倍）。

4. 公司合法解除合同的情形
   若劳动者继续上班后，公司发现其存在《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形（如严重违纪、被追究刑事责任等），可立即解除合同且无需支付补偿；若符合第四十条规定的非过错性解除情形（如劳动者患病或不能胜任工作），需提前三十日书面通知或支付代通知金，并支付经济补偿。
   注意：公司需严格遵循法定程序，否则可能被认定为违法解除。

总结建议：公司应优先通过协商与劳动者明确续签或终止意向，若无法达成一致，需根据具体情况选择合法解除路径，并保留书面证据以规避风险。如有复杂情形，可进一步向我咨询具体操作方案。