母亲是有权起诉子女的。针对您提出的问题，我将从法律背景、法律建议和可能的法律后果三个角度进行详细分析。

法律背景

1. 赡养义务：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。这包括经济上的供养、生活上的照料以及精神上的慰藉。当父母年老、体弱、病残时，子女更应妥善照顾，确保他们的基本生活需求得到满足。

2. 起诉权利：如果子女不履行赡养义务，父母有权向人民法院提起诉讼，要求子女支付赡养费或履行其他赡养义务。这是法律赋予父母的一种救济途径，旨在保护他们的合法权益。

法律建议

1. 收集证据：在提起诉讼前，建议收集相关证据，如母亲的医疗记录、存款和退休金情况、子女不履行赡养义务的证据（如通信记录、证人证言等）。这些证据将有助于证明子女未履行赡养义务的事实。

2. 咨询律师：由于法律程序可能相对复杂，建议咨询专业律师，如我，林晏生律师，专注于婚姻家庭领域，可以为您提供详细的法律指导和代理服务。律师将帮助您准备诉讼材料，代表母亲出庭，并争取最大的合法权益。

3. 提起诉讼：在收集到足够证据并咨询律师后，可以向人民法院提起诉讼，要求子女支付赡养费或履行其他赡养义务。法院将根据事实和法律规定，作出公正的判决。

可能的法律后果

1. 子女被判支付赡养费：如果法院认定子女未履行赡养义务，将判决子女支付赡养费。赡养费的数额将根据母亲的实际情况、子女的经济能力以及当地的生活水平等因素综合考虑。

2. 子女可能面临法律制裁：除了支付赡养费外，如果子女的行为构成遗弃罪或其他犯罪行为，还可能面临刑事制裁。不过，在大多数情况下，赡养纠纷主要通过民事诉讼解决。

3. 维护家庭和谐：虽然诉讼是一种解决纠纷的方式，但我也建议尽量通过协商、调解等和平方式解决赡养问题。这有助于维护家庭和谐，减少不必要的法律纠纷和情感伤害。

总结与建议：母亲完全有权起诉不履行赡养义务的子女。在提起诉讼前，建议收集相关证据并咨询专业律师。通过法律途径维护母亲的合法权益是必要的，但同时也应考虑通过和平方式解决纠纷，以维护家庭和谐。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。