结论：员工患病期间，公司在医疗期内不续签劳动合同是不合法的；医疗期届满后，若员工能正常工作而公司不续签，则需支付经济补偿；若员工不能从事原工作或另行安排的工作，公司可解除劳动合同但仍需支付经济补偿。以下是对该问题的详细分析：
一、医疗期内的保护
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，公司无权单方面终止或拒绝续签劳动合同。
- 同时，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十五条，劳动合同期满，若劳动者仍处于医疗期内，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。
医疗期的确定：
- 医疗期的具体时长根据员工的工作年限和在本单位的工作年限来确定，通常为3个月到24个月不等。员工应明确自己的医疗期时长，以便在必要时维护自己的权益。
二、医疗期届满后的处理
员工能正常工作：
- 若员工医疗期已届满，且经鉴定能够正常工作，公司不续签合同则属于违法行为。此时，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常为：按照员工在公司的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
员工不能正常工作：
- 若员工医疗期届满后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。但即便如此，公司仍需支付经济补偿。
三、员工应对措施
了解并确认医疗期：
- 员工应首先明确自己的医疗期时长，并保留好相关医疗证明和病假条等证据。
与公司沟通协商：
- 在医疗期内或医疗期届满后，员工应尝试与公司进行沟通，说明法律规定和自己的权益，要求公司按照法律规定处理劳动合同事宜。沟通过程可通过书面形式进行，并保留好相关沟通记录。
向劳动监察部门投诉：
- 若公司拒绝协商或违反法律规定，员工可向当地的劳动监察部门投诉，请求其对公司进行调查和处理。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 在必要时，员工可携带相关证据向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自身合法权益。若仲裁或诉讼胜诉，员工有权要求公司支付违法终止劳动合同的赔偿金，并要求延续劳动合同至医疗期结束（如适用），或支付相应的经济补偿。
四、注意事项
- 证据收集的重要性：员工应妥善保存劳动合同、工资条、诊断证明、病假条等相关证据，以备后续维权之需。
- 及时咨询与行动：面对公司不续签合同的情境，员工应及时咨询专业律师（即我本人，朱家涛律师，专注于婚姻家庭、劳动纠纷领域）并采取行动，以免错过维权时机。
综上所述，员工在患病期间应充分了解自己的法律权益，并采取适当措施保护自身合法权益。同时，公司也应严格遵守相关法律法规，确保在处理员工劳动合同事宜时做到合法合规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。