结论：在您全责且对方不肯去交通部门签协议的情况下，您仍需承担医药费等赔偿责任，但可以通过其他方式固定证据并推进赔偿流程。以下从多个角度为您详细分析：
一、法律责任与协议性质
- 责任认定：既然您已承认全责，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零八条：“机动车发生交通事故造成损害的，依照道路交通安全法律和本法的有关规定承担赔偿责任。”您需承担对方因事故产生的合理医药费等损失。
- 协议作用：交通部门签的协议本质是双方对事故责任及赔偿的书面确认。对方拒绝签署，不影响您依法应承担的赔偿责任，但可能增加后续举证难度。
二、对方拒绝签协议的应对策略
固定证据：
- 医疗记录：收集对方所有医疗发票、诊断证明、用药清单等，证明费用与事故的关联性。
- 事故认定书：若交警已出具《道路交通事故认定书》，其载明的责任划分是关键证据，即使未签协议，也可作为赔偿依据。
- 沟通记录：保留与对方沟通的短信、微信、录音等，证明您曾主动协商赔偿但对方拒绝。
协商与调解：
- 再次协商：以书面形式（如邮件、短信）明确告知对方：“您已承认全责，现对方拒绝签署协议，但您仍愿意依法赔偿医药费，请对方提供医疗费用清单以便处理。”
- 第三方调解：可申请交警部门、人民调解委员会或保险机构介入调解，调解协议具有法律效力。
诉讼途径：
- 起诉条件：若协商、调解无果，您可向法院起诉，要求对方配合确认赔偿金额（或直接起诉要求赔偿已产生的医药费）。
- 举证重点：需证明事故责任（如事故认定书）、对方损失（如医疗记录）及您已履行告知义务（如沟通记录）。
三、特殊情形处理
对方恶意拖延：
- 若对方无正当理由拒绝签协议且拖延治疗，您可主张仅赔偿合理、必要的医药费（如拒绝支付与事故无关的药品费用）。
- 需通过医疗鉴定或专家意见证明费用合理性。
保险理赔影响：
- 若您购买了交强险或商业险，可联系保险公司协助处理。保险公司可能要求对方签署协议或直接参与调解，以推进理赔流程。
- 若对方拒绝配合，保险公司可能依据现有证据先行赔付，后续再向对方追偿（具体以保险合同为准）。
四、风险提示
- 诉讼成本：若最终诉讼，您需承担诉讼费、律师费（如委托）及时间成本，建议优先协商或调解。
- 证据缺失风险：若未固定好医疗记录、沟通记录等证据，可能面临赔偿金额被对方夸大的风险。
建议行动步骤：
- 立即收集所有医疗证据及事故认定书；
- 以书面形式再次与对方沟通赔偿事宜；
- 联系保险公司或申请交警部门调解；
- 若仍无果，咨询专业律师准备诉讼材料。
如有进一步疑问或需具体操作指导，可直接向我咨询，我会结合您的案情提供详细方案。