面对对方全责却不肯垫付医药费的情况，您可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
与对方沟通协商：
- 首先，尝试与对方进行友好沟通，了解其不愿意垫付的具体原因。有时候，对方可能只是因为不了解流程或存在误解而拒绝垫付。通过沟通，您可以解释相关法律规定和对方的责任，争取达成一致意见，让对方主动履行垫付义务。
联系保险公司：
- 交强险垫付：根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关规定，交强险具有法定的垫付义务。您可以联系对方车辆的交强险保险公司，提供交通事故责任认定书、伤者诊断证明等相关材料，申请在医疗费用赔偿限额内（通常为18000元）垫付抢救费用。
- 商业三者险垫付：如果对方车辆还购买了商业第三者责任险，您也可以咨询该保险公司是否包含垫付条款，并按照要求提交相关材料申请垫付。
- 同时，如果您的车辆也购买了保险，不妨询问自己的保险公司是否可以提供先行垫付或其他形式的帮助，以减轻您的经济压力。
请求交警部门协助：
- 向处理事故的交警部门说明情况，请求他们出具垫付抢救费用通知书，并送至对方车辆的保险公司。交警部门的介入往往能促使保险公司更快地垫付抢救费用。
申请道路交通事故社会救助基金：
- 在特定情况下，如抢救费用超过交强险责任限额、对方车辆未参加交强险或机动车肇事后逃逸等，您可以向道路交通事故社会救助基金管理机构申请救助基金垫付部分或全部抢救费用。这需要您提交相关证明材料，如医疗机构出具的抢救费用清单、交通事故责任认定书等。
自行筹集并保存证据：
- 在紧急情况下，为了及时治疗，您可能需要先自行筹集资金支付医药费。务必保留好所有与治疗相关的费用凭证，如病历、诊断证明、医疗费发票、用药清单等。这些凭证将是后续索赔的重要依据。
法律途径索赔：
- 协商与调解：病情稳定后，您可以与对方就赔偿问题进行协商，明确提出赔偿项目和金额。如果协商不成，可以向公安机关交通管理部门或人民调解委员会申请调解。
- 提起诉讼：若调解无果，您可以向事故发生地或被告住所地的人民法院提起民事诉讼，要求对方和保险公司承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提交相关证据支持诉讼请求，如交通事故责任认定书、医疗费用凭证、误工证明等。
- 申请强制执行：法院判决后，如果对方仍拒不履行赔偿义务，您可以向法院申请强制执行，通过法律手段迫使对方履行赔偿义务。
在处理此类问题时，您还需要注意以下几点：
- 保留好所有证据：无论是与对方沟通、联系保险公司还是申请救助基金，都需要提供相关证据。因此，务必保留好所有与事故相关的证据材料。
- 及时报警并保留现场证据：事故发生后，应立即报警并确保现场证据得到妥善保留。这是后续责任认定和理赔的重要依据。
- 了解相关法律后果：肇事司机全责却未垫付医疗费时，需承担赔偿责任。若因未垫付导致受害人伤势扩大或死亡等严重后果，还需承担额外赔偿责任。了解这些法律后果有助于您更有效地推动问题的解决。
面对对方全责却不肯垫付医药费的情况，您有多种途径可以维护自己的权益。建议您根据实际情况选择合适的方式，并尽快采取行动。在整个过程中，务必保持冷静和理性，保留好所有相关证据，以确保您的合法权益得到最大程度的保障。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。