结论：是否需要向原公司提交辞职申请，取决于你与原公司的劳动关系状态以及新工作的性质。以下分情况详细说明：
若你与原公司仍保持劳动关系，且被安排到其他公司上班：
- 法律关系：在这种情况下，你仍然是原公司的员工，只是被借调或安排到其他公司工作。原公司与你之间的劳动关系并未因工作地点的变更而解除。
- 辞职申请：因此，如果你打算结束与原公司的劳动关系，需要向原公司提交辞职申请，并按照原公司规定的程序办理离职手续。
- 注意事项：在提交辞职申请前，建议与原公司沟通清楚借调期间的工资、福利、社保等权益的保障问题，以及离职后的相关事宜，如工作交接、经济补偿等。
若你与原公司已解除劳动关系，再到其他公司上班：
- 法律关系：如果你已经与原公司解除了劳动关系，并获得了相应的经济补偿或离职证明，那么你与原公司之间就不再存在劳动关系。
- 辞职申请：在这种情况下，你不需要再向原公司提交辞职申请，因为你的劳动关系已经终止。你可以直接与新公司签订劳动合同，建立新的劳动关系。
- 注意事项：在解除与原公司的劳动关系时，务必确保所有手续都已办妥，包括工资结算、社保转移、离职证明等。同时，在与新公司签订劳动合同时，要仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到保障。
特殊情况：临时借调或项目合作：
- 法律关系：如果原公司只是临时借调你到其他公司工作，或者你参与的是某个项目合作，而你的劳动关系仍然保留在原公司，那么这种情况下的处理方式可能因具体协议而异。
- 辞职申请：在这种情况下，是否需要提交辞职申请取决于你与原公司之间的协议以及借调或合作的具体安排。如果协议中明确规定了借调或合作期间的劳动关系处理方式，那么应按照协议执行。如果没有明确规定，建议与原公司沟通确认。
- 注意事项：在参与临时借调或项目合作时，务必与原公司和新公司都沟通清楚各自的权利和义务，包括工资、福利、社保、工作时间、工作地点等，以避免后续产生纠纷。
建议：
- 在处理此类问题时，建议首先明确自己与原公司以及新公司之间的法律关系。
- 如果不确定自己的劳动关系状态或借调/合作的具体安排，建议及时咨询专业律师或劳动部门，以获取准确的法律意见。
- 在任何情况下，都应保留好与劳动关系相关的所有文件和证据，如劳动合同、工资单、离职证明等，以备不时之需。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。