结论前置：当劳动合同第二次到期，公司选择不续签时，赔偿问题主要取决于是否存在特定情形（如劳动者严重违反规章制度等）。若不存在这些情形，公司应向劳动者支付经济补偿金，具体金额根据劳动者的工作年限和工资水平来确定。
详细分析：
经济补偿的支付条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，二次固定期限劳动合同到期后，除非用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同而劳动者不同意，否则用人单位在终止劳动合同时应向劳动者支付经济补偿。这意味着，如果公司选择不续签，且没有合理的理由（如劳动者严重违反规章制度等），那么公司就需要支付经济补偿。
经济补偿的计算标准：
- 经济补偿的计算主要依据劳动者在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资。具体来说，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算并支付一个月工资；不满六个月的，支付半个月工资。这里的“月工资”指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，且若劳动者的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，支付年限最高不超过十二年。
计算公式：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（或当地上年度职工月平均工资三倍，以较低者为准，且支付年限最高不超过十二年）
特定情形下的免责：
- 如果劳动者存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、被依法追究刑事责任等，导致用人单位决定不续签劳动合同的，用人单位无需支付经济补偿。
举例说明：
- 假设员工小张在某公司工作了4年，劳动合同第二次到期后公司决定不续签，小张劳动合同解除前十二个月的平均工资为10000元，且不存在上述特定情形。那么，公司应支付给小张的经济补偿金额为4 × 10000 = 40000元。
维权建议：
- 如果遇到公司不续签且不依法支付经济补偿的情况，劳动者应首先与公司进行沟通协商，尝试解决问题。
- 若双方无法达成一致，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，劳动者应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以便在需要时提供证明。
总结与建议：劳动合同第二次到期不续签时的经济补偿问题涉及多个法律知识点，包括经济补偿的支付条件、计算标准以及特定情形下的免责等。作为劳动者，在遇到此类问题时，应充分了解相关法律法规，确保自己的权益得到妥善保护。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。