结论概述：在法定代表人涤除后未选出新法定代表人的情况下，公司应尽快通过内部程序选举新的法定代表人，并办理相应的工商变更登记手续。若公司内部无法达成一致或存在其他障碍，可考虑通过法律途径解决。以下是对此问题的详细分析：
一、公司内部程序
召开股东会或董事会：
- 根据公司章程的规定，公司应召开股东会或董事会，就选举新的法定代表人进行决议。
- 股东会或董事会应形成有效的决议，明确新法定代表人的身份，并授权相关人员办理工商变更登记手续。
办理工商变更登记：
- 在选举出新的法定代表人后，公司应尽快向工商行政管理部门提交变更登记申请，包括股东会或董事会的决议、新法定代表人的身份证明等文件。
- 工商行政管理部门在审核通过后，会颁发新的营业执照，完成法定代表人的变更登记。
二、法律途径解决
若公司内部无法达成一致：
- 如果公司内部因各种原因（如股东之间存在纠纷、董事会无法形成有效决议等）无法选举出新的法定代表人，可以考虑通过法律途径解决。
- 例如，可以提起公司决议纠纷之诉，请求法院确认股东会或董事会的决议效力，或者请求法院指定新的法定代表人（但这一做法在实践中较为罕见，且需符合特定条件）。
注意法律后果：
- 在法定代表人涤除后未选出新法定代表人的期间，公司可能面临一定的法律风险。例如，原法定代表人可能不再具有代表公司行使职权的资格，但若公司未及时办理变更登记，外部第三方可能仍认为原法定代表人具有代表权，从而引发纠纷。
- 因此，公司应尽快采取措施选举新的法定代表人，并办理变更登记手续，以避免不必要的法律风险。
三、实际操作建议
加强内部沟通：
- 在选举新法定代表人的过程中，公司应加强内部沟通，确保股东或董事之间能够充分协商、达成一致。
- 如果存在分歧或争议，可以寻求第三方调解或咨询专业律师的意见，以寻求妥善的解决方案。
及时办理变更登记：
- 一旦选举出新的法定代表人，公司应立即着手办理工商变更登记手续，确保公司的法律状态与实际情况相符。
- 在办理变更登记时，应确保提交的文件真实、完整、有效，以避免因文件问题导致的变更登记失败或延误。
四、特殊情况处理
- 如果公司因特殊原因（如股东全部丧失行为能力、公司被吊销营业执照等）无法选举新的法定代表人，且无法通过法律途径解决，那么公司可能需要考虑进行清算或解散等程序。但这种情况较为极端，且需符合特定条件，因此在实际操作中应谨慎处理。
总结与提醒：法定代表人涤除后未选出新法定代表人的情况需要公司尽快采取措施解决。公司应首先尝试通过内部程序选举新的法定代表人并办理变更登记手续；若内部无法达成一致或存在其他障碍，可考虑通过法律途径解决。在处理过程中，公司应加强内部沟通、确保文件真实完整有效，并谨慎处理特殊情况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。