结论前置：银行卡盗刷案件立案后，公安机关会依法通知当事人，但具体通知的时间和方式可能因案件进展和实际情况有所不同。
详细分析：
立案通知的法律义务：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在立案后，有义务将立案情况告知报案人、控告人或举报人。这是为了保障当事人的知情权，使其能够及时了解案件进展，并配合公安机关的调查工作。
通知的时间和方式：
- 公安机关在立案后，会尽快通知当事人。但具体通知的时间可能因案件复杂程度、调查进度等因素而有所不同。
- 通知方式通常包括书面通知、电话通知或口头通知等。公安机关会根据实际情况选择最合适的通知方式，以确保当事人能够及时收到通知。
当事人应如何应对：
- 一旦收到立案通知，当事人应积极配合公安机关的调查工作，提供必要的证据和信息。
- 同时，当事人也可以向公安机关了解案件进展情况，以及自己需要承担的法律义务和责任。
特殊情况下的通知：
- 在某些特殊情况下，如案件涉及国家秘密、个人隐私或商业秘密等，公安机关可能会在通知当事人时采取一定的保密措施。
- 如果当事人因特殊原因无法及时收到通知，如联系方式变更、身处外地等，应及时向公安机关说明情况，以便公安机关采取相应的措施。
法律建议：
- 如果您发现银行卡被盗刷，应立即向公安机关报案，并提供详细的盗刷情况。同时，尽快联系银行进行挂失，以防止损失进一步扩大。
- 在等待公安机关通知的过程中，您可以保留好相关证据，如交易记录、短信通知等，以便后续提供给警方和银行作为调查依据。
- 如果您对立案通知有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。
可能后果：
- 如果银行卡盗刷案件成功立案并侦破，犯罪嫌疑人将承担相应的法律责任，包括有期徒刑、拘役、管制或罚金等。
- 作为当事人，您有权要求犯罪嫌疑人赔偿因盗刷行为给您造成的经济损失。如果犯罪嫌疑人无力赔偿或拒不赔偿，您可以通过法律途径追究其民事责任。