结论前置：在我国，法律并未明确规定公安机关不予立案时申请检察监督的具体期限，但根据相关法律规定和司法实践，可以明确的是，检察院在受理立案监督申请后，会依法在合理时间内进行审查并作出处理决定。公安机关在收到检察院的立案监督相关通知后，一般应在十五日内作出相应处理。
一、立案监督程序的启动
当被害人及其法定代理人、近亲属或行政执法机关认为公安机关应当立案侦查而未立案时，可以向人民检察院提出立案监督申请。检察院在收到申请后，会在7日以内作出是否受理的决定。对于符合条件的申请，检察院会予以受理，并启动立案监督程序。
二、立案监督程序的具体操作与时限
要求说明不立案理由：
- 检察院受理立案监督申请后，若认为需要公安机关说明不立案理由，会发出《要求说明不立案理由通知书》。
- 公安机关应在收到通知书后7日内作出书面说明，连同相关证据材料回复人民检察院。
审查与决定：
- 检察院对公安机关的说明进行审查，若认为不立案理由不能成立，会制作《通知立案书》，要求公安机关立案。
- 审查处理期限：一般情况下，检察院受理后应在15日以内进行审查。经检察长批准，可延长至30日。对于重大、疑难、复杂案件，经检察长批准，可进一步延长至60日。特别地，对于刑事诉讼法规定的“认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查”的申请监督案件，检察机关应当在受理之日起30日以内进行审查，作出提出纠正违法意见或者不予支持监督申请的决定。情况复杂的，经检察长批准，可延长至60日。
执行与反馈：
- 公安机关在收到《通知立案书》后，应在15日内决定立案，并将《立案决定书》复印件送达人民检察院。
- 若公安机关主动纠正并立案，检察院则无需再发《通知立案书》。
三、立案监督程序的后续处理与保障措施
- 若公安机关在收到《通知立案书》后15日内不予立案，检察院应发出《纠正违法通知书》予以纠正。
- 如公安机关仍不予纠正，检察院可报上一级检察院侦查监督部门商同级公安机关处理，或报告同级人大常委会。
- 公安机关虽已立案但未将《立案决定书》送达检察院的，检察院应要求其送达。
四、建议与提醒
- 尽快申请：尽管法律未明确规定立案监督的具体期限，但为了确保司法效率和公正，建议受害人或相关方在发现公安机关应当立案而未立案时，尽快向检察院提出立案监督申请。
- 密切关注：当事人在整个过程中应密切关注检察院的办理进度，并按照要求提供相关材料和配合调查。
- 法律保障：检察院在处理立案监督案件时，会遵循《刑事诉讼法》及相关司法解释的精神，确保案件处理的及时性和公正性。当事人有权向检察院申请立案监督，以维护自身合法权益。
总结：虽然法律未明确规定公安机关不予立案时申请检察监督的具体期限，但检察院在受理申请后会依法在合理时间内进行审查并作出处理决定。公安机关在收到检察院的立案监督相关通知后，也有明确的处理时限。因此，当事人应尽快提出申请，并密切关注办理进度，以确保自身合法权益得到有效维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。