结论前置：在我国，法律并未明确规定对公安机关作出不立案决定申请检察监督的具体时限，但根据相关法律规定和司法实践，可以梳理出大致的流程和时限要求，以确保司法效率和公正。

一、申请检察监督的流程与时限

1. 提出申请：

   • 当被害人及其法定代理人、近亲属或行政执法机关认为公安机关应当立案侦查而未立案时，可以向人民检察院提出立案监督申请。
   • 时限建议：虽然法律未明确规定申请的具体时限，但为了确保案件的及时处理，建议尽快提出申请，以免错过最佳时机。

2. 人民检察院受理与审查：

   • 人民检察院在收到申请后，应当在7日以内作出是否受理的决定。对于符合条件的申请，予以受理；不符合条件的，不予受理并说明理由。
   • 受理后，人民检察院一般应在15日以内进行审查。经检察长批准，可延长至30日。对于重大、疑难、复杂案件，经检察长批准，可进一步延长至60日。

3. 要求公安机关说明不立案理由：

   • 若人民检察院认为需要公安机关说明不立案理由，应发出《要求说明不立案理由通知书》。
   • 公安机关应在收到通知书后7日内作出书面说明，连同相关证据材料回复人民检察院。

4. 审查与决定：

   • 人民检察院对公安机关的说明进行审查，若认为不立案理由不能成立，应制作《通知立案书》，要求公安机关立案。
   • 人民检察院应自收到公安机关书面说明之日起15日内作出是否立案的决定（对于特定情况，如刑事诉讼法第一百一十一条规定的案件，检察机关应当在受理之日起30日以内进行审查，作出提出纠正违法意见或者不予支持监督申请的决定，情况复杂的，经检察长批准，可延长至60日）。

5. 公安机关执行与反馈：

   • 公安机关在收到《通知立案书》后，应在15日内决定立案，并将《立案决定书》复印件送达人民检察院。
   • 若公安机关主动纠正并立案，人民检察院则无需再发《通知立案书》。

二、特殊情况与后续处理

1. 公安机关不予立案的处理：

   • 若公安机关在收到《通知立案书》后15日内不予立案，人民检察院应发出《纠正违法通知书》予以纠正。
   • 如公安机关仍不予纠正，人民检察院可报上一级人民检察院侦查监督部门商同级公安机关处理，或报告同级人大常委会。

2. 复议与救济：

   • 如果当事人对检察院的立案监督决定不服，可以向上级检察院申请复议，以确保自身合法权益得到维护。

三、法律建议与注意事项

1. 及时申请：

   • 尽管法律未明确规定申请检察监督的具体时限，但为了确保案件的及时处理，建议当事人在发现公安机关应当立案而未立案时，尽快向检察院提出立案监督申请。

2. 提供充分证据：

   • 在提出申请时，当事人应尽可能提供充分的证据材料，以支持其申请理由，提高申请的成功率。

3. 密切关注办理进度：

   • 当事人在整个过程中应密切关注检察院的办理进度，并按照要求提供相关材料和配合调查，以确保案件的顺利处理。

总结： 对公安机关作出不立案决定申请检察监督的时限虽然法律未明确规定，但根据相关法律规定和司法实践，可以梳理出大致的流程和时限要求。当事人在发现公安机关应当立案而未立案时，应尽快向检察院提出立案监督申请，并提供充分的证据材料。同时，密切关注检察院的办理进度，并按照要求提供相关材料和配合调查，以确保案件的顺利处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。