在我国，法律并未明确规定不予立案后申请立案监督的具体时限，但根据相关法律规定和司法实践，可以归纳出以下关键时间点和流程：

1. 申请立案监督的受理期限：

   • 人民检察院在收到被害人及其法定代理人、近亲属或行政执法机关的立案监督申请后，应当在7日以内作出是否受理的决定。对于符合条件的申请，予以受理；不符合条件的，不予受理并说明理由。

2. 审查处理期限：

   • 一般情况下，人民检察院受理后应在15日以内进行审查。经检察长批准，可延长至30日。对于重大、疑难、复杂案件，经检察长批准，可进一步延长至60日。
   • 特别地，对于刑事诉讼法规定的“认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查”的申请监督案件，检察机关应当在受理之日起30日以内进行审查，作出提出纠正违法意见或者不予支持监督申请的决定。情况复杂的，经检察长批准，可延长至60日。

3. 公安机关的反馈期限：

   • 若人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立，会制作《通知立案书》，要求公安机关立案。公安机关在收到《通知立案书》后，应在15日内决定立案，并将《立案决定书》复印件送达人民检察院。

4. 后续处理与保障措施：

   • 若公安机关在收到《通知立案书》后15日内不予立案，人民检察院应发出《纠正违法通知书》予以纠正。
   • 如公安机关仍不予纠正，人民检察院可报上一级人民检察院侦查监督部门商同级公安机关处理，或报告同级人大常委会。

法律背景与建议：

• 法律背景：立案监督是人民检察院对公安机关的立案活动是否合法进行的监督，是刑事诉讼法律监督的重要组成部分。虽然法律未明确规定申请立案监督的具体时限，但为了确保司法效率和公正，人民检察院在处理立案监督申请时，会遵循一定的期限规定。
• 建议：为了确保自身权益得到及时维护，建议当事人在发现公安机关应当立案而未立案时，尽快向人民检察院提出立案监督申请。同时，在申请过程中，应积极配合人民检察院的调查工作，提供相关证据材料，以便人民检察院能够全面、准确地审查案件。

可能遇到的法律后果：

• 如果人民检察院认为公安机关不立案理由成立，将不予支持监督申请，当事人可能需要通过其他途径（如申诉、复议等）来维护自身权益。
• 如果人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立，并发出《通知立案书》后，公安机关仍不予立案，人民检察院将采取进一步措施（如发出《纠正违法通知书》、报上一级人民检察院处理等）来纠正违法行为，确保案件得到及时立案和侦查。

总结：虽然法律未明确规定不予立案后申请立案监督的具体时限，但人民检察院在处理立案监督申请时，会遵循一定的期限规定。当事人应尽快提出申请，并积极配合人民检察院的调查工作，以确保自身权益得到及时维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。