结论：试用期请病假，公司不能仅以此为由辞退员工，但若员工手册的规定合法且经过民主程序制定、公示，同时员工确实存在不符合录用条件的情形（如长期病假导致无法正常工作），公司可能以此为由解除劳动合同。不过，具体还需结合实际情况判断。
详细分析：
试用期辞退的法定条件：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，在试用期内，用人单位解除劳动合同必须基于劳动者不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度、严重失职等法定情形。
- 单纯以员工在试用期请病假为由辞退员工，并不符合上述法定条件，因此，一般情况下，公司不能仅因员工在试用期请病假就辞退员工。
员工手册的效力：
- 员工手册作为公司的规章制度，其制定和修改必须经过民主程序，并且需要向员工公示或告知，才能对员工产生约束力。
- 如果员工手册中关于“请病假超过15个工作日为不予录用”的规定，未经民主程序制定或未向员工公示，那么该规定可能无效，公司不能以此为由辞退员工。
- 即使员工手册的规定合法且有效，公司也需要证明员工确实存在不符合录用条件的情形，如长期病假导致无法正常工作，且该情形与录用条件直接相关，才能以此为由解除劳动合同。
实际操作中的建议：
- 对于员工：在试用期请病假时，应保留好相关的医疗证明和请假记录，以备不时之需。如果公司以此为由辞退员工，员工可以咨询专业律师，了解自己的权益和维权途径。
- 对于公司：在制定员工手册时，应确保规定合法且经过民主程序制定、公示。在辞退试用期员工时，应基于法定条件，并保留好相关证据，以证明员工确实存在不符合录用条件的情形。
可能面临的法律后果：
- 如果公司违法辞退试用期员工，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的计算通常根据员工在公司的工作年限和工资水平来确定。
- 如果员工认为公司的行为侵犯了自己的合法权益，可以向劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
进一步思考：
- 在实际操作中，试用期辞退员工往往涉及复杂的法律问题和事实认定。因此，无论是员工还是公司，在面临此类问题时，都应咨询专业律师，以了解自己的权益和义务，并寻求合法的解决方案。
- 同时，公司也应加强内部管理，完善规章制度，确保在辞退员工时有充分的法律依据和事实支持，以避免不必要的法律纠纷。
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