结论：试用期员工请病假，公司一般不可以随意开除，但存在特定情形时可以依法解除劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一般情况：不可开除
病假在合理医疗期内：
- 根据相关法律规定，劳动者在试用期内同样享有医疗期。若员工因患病或非因工负伤需要停止工作治病休息，且请病假的时间在法定的医疗期内，公司通常不能以此为由解除劳动合同。例如，员工因突发疾病需请假一周进行治疗，只要病假时间未超出医疗期，公司便不能直接开除该员工。
提供合法病假证明：
- 员工请病假时，若能按照公司规定提交合法有效的病假证明（如医院出具的诊断证明书、病历等），以证实其确实因病需要休息，公司则不得无故解除劳动合同。比如，员工因感冒发烧前往正规医院就诊并获得三天病假条，提交给公司后，公司无权因此开除员工。
病假薪资保障：
- 无论员工处于试用期还是合同期，当他们因疾病无法工作时均有权提出病假申请，且用人单位需根据法规为其发放相应的薪资，以保障劳动者的基本权益。
特殊情况：可以开除
不符合录用条件且与病假无关：
- 如果公司在试用期内能够证明员工不符合录用条件，并且这一情形与员工的病假无关，那么公司有权解除劳动合同。例如，公司招聘的软件工程师需熟练掌握某种编程语言，但员工经考核未能达标，即便在此期间请过病假，公司也可依法解雇。
病假时间过长超出医疗期：
- 若员工请病假的时间过长，超出了法律规定的医疗期，并且在医疗期满后仍无法从事原工作或公司另行安排的工作，公司在履行了法定程序（如提前通知、协商调岗等）后，可以解除劳动合同。
严重违反公司规章制度：
- 即使在病假期间，如果员工存在严重违反公司规章制度的行为，如伪造病假证明、在病假期间从事与公司利益冲突的活动等，公司也有权依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同。具体来说，包括但不限于以下情形：严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害；同时与其他用人单位建立劳动关系影响本职工作；被依法追究刑事责任等。
法律建议
- 对于员工：在试用期内请病假时，应确保提供合法有效的病假证明，并了解自己的医疗期权益。如果公司无故开除，可以依法维护自己的权益。
- 对于公司：在考虑开除试用期病假员工时，应谨慎评估是否符合法定解除条件，并确保整个过程符合法律规定和企业规章制度的要求。避免因违法解除而引发劳动争议和法律风险。
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条：劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；（六）被依法追究刑事责任的。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十条：有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：（一）劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；（二）劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；（三）劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
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