员工在上班时间突发疾病且没有签订劳动合同的情况下，医疗费用的负责问题需根据具体情况来分析：

1. 属于工伤或视同工伤的情形

   • 若员工在工作时间和工作岗位上突发疾病，并满足以下条件之一，则可视同工伤处理：

     1. 突发疾病导致死亡；
     2. 突发疾病后在48小时之内经抢救无效死亡。

   • 医疗费用承担规则：

     • 若用人单位已缴纳工伤保险：治疗工伤所需的费用，若符合工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录及工伤保险住院服务标准，将由工伤保险基金支付。同时，职工住院治疗工伤期间的伙食补助费，以及经医疗机构出具证明并报经办机构同意后，工伤职工到统筹地区以外就医所需的交通、食宿费用，也均从工伤保险基金中支付。
     • 若用人单位未缴纳工伤保险：对于应当参加而未参加工伤保险的用人单位，其职工发生工伤时，由该用人单位按照《工伤保险条例》的规定，承担包括医疗费用在内的全部法定工伤待遇费用。在此情况下，即使没有签订劳动合同，只要能够证明存在事实劳动关系（如通过工资支付记录、工作证、考勤记录等），员工依然有权享受工伤待遇。

2. 不属于工伤的情形

   • 若员工上班时间突发疾病，但不满足上述视同工伤的条件，则医疗费用的处理原则为：
     • 有医疗保险：职工如已参加基本医疗保险，其医疗费用将按照基本医疗保险的规定，由医保基金和个人按比例分担。具体而言，参保人员在协议医疗机构发生的医疗费用，若符合基本医疗保险药品目录、诊疗项目及医疗服务设施标准，将按照国家规定从基本医疗保险基金中支付，个人可能仅需支付一定的起付线及自付比例部分的费用。
     • 无医疗保险：若用人单位未依法为职工缴纳基本医疗保险，导致职工无法享受医保待遇，则用人单位需承担赔偿责任。因为根据相关法律规定，用人单位有义务为员工缴纳社会保险，其中即包含基本医疗保险。同样，即使没有签订劳动合同，只要能够证明存在事实劳动关系，用人单位依然需要承担这一责任。

3. 特殊情况说明

   • 因工作原因导致的职业病：若员工因工作原因罹患职业病，或公司未能提供应有的劳动保护措施导致员工生病，公司需负责相应的医疗费用，并可能需赔偿其他相关损失。
   • 商业保险：若公司为员工购买了商业保险，且该保险涵盖医疗费用，则保险公司也将根据保险合同条款承担相应的医疗费用。

建议与行动指南：

• 收集证据：无论属于哪种情况，员工都应尽可能收集与工作相关的证据，如工作证、考勤记录、工资支付记录等，以证明与用人单位之间存在事实劳动关系。
• 及时沟通：与用人单位及时沟通，了解其对医疗费用的承担态度，并保留好沟通记录。
• 寻求法律帮助：如果用人单位拒绝承担责任，或双方对责任承担存在争议，员工可以向当地劳动保障部门投诉，或寻求法律帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。

最后需要强调的是，即使没有签订劳动合同，只要能够证明存在事实劳动关系，员工依然有权享受相应的劳动保障和福利待遇。因此，在面对此类问题时，员工应积极维护自己的权益，不要因未签订合同而放弃应有的保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。