结论：因对方辱骂打架被拘留15天是否会有案底，以及是否会影响孩子当兵，主要取决于该拘留是行政拘留还是刑事拘留。
详细分析：
行政拘留的情况：
- 性质：行政拘留是公安机关对违反治安管理行为人的一种行政处罚措施，它并不属于刑事处罚。
- 记录保存：虽然行政拘留的记录会保存在公安机关的内部系统中，但这并不是正式的犯罪记录。
- 对孩子当兵的影响：一般来说，行政拘留不会对一般的就业、升学等产生实质性影响。但在孩子报考军事院校、参军入伍等需要审查无违法犯罪记录的情况下，行政拘留记录可能会被查到，并可能对孩子的入伍或报考产生一定影响。不过，这种影响并非绝对，具体还需根据相关招生或入伍政策来判断。
刑事拘留且经法院判决有罪的情况：
- 性质：刑事拘留是刑事诉讼过程中的一种强制措施，针对的是涉嫌犯罪的行为人。如果打架行为严重到构成刑事犯罪（如故意伤害罪），并且经过法院审判确认有罪，那么就会留下犯罪记录，即我们通常所说的“案底”。
- 对孩子当兵的影响：犯罪记录会伴随当事人终身，对其自身及子女的职业发展等可能产生一定限制。具体来说，如果父母有犯罪记录，孩子报考军事院校、警校，以及从事一些特殊公务员岗位工作等，都可能会受到影响。这是因为这些岗位通常对报考者的政治背景有严格要求，需要审查其直系亲属是否有犯罪记录。
建议：
- 如果您或您的家人因打架被拘留，首先需要弄清楚是行政拘留还是刑事拘留。如果是行政拘留，虽然记录可能存在，但一般影响不大；如果是刑事拘留，且可能构成犯罪，那么应尽快咨询专业律师，了解案件情况，积极应对，以争取最好的法律结果。
- 对于孩子当兵的问题，如果父母有行政拘留记录，建议提前了解相关招生或入伍政策，看是否有明确规定禁止有行政拘留记录的人员子女报考或入伍。如果有刑事犯罪记录，则可能需要考虑其他职业发展方向。
总结：因对方辱骂打架被拘留15天是否会有案底，以及是否会影响孩子当兵，取决于拘留的性质和后续的法律程序。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。