结论：公司不与员工签订第二次劳动合同，员工是有权要求赔偿的，但具体赔偿方式和金额需根据实际情况来确定。
分析说明：
劳动合同的续签与终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，如果双方都有意愿继续合作，应当续签劳动合同。
- 如果公司不与员工续签劳动合同，且没有合法理由（如员工严重违反公司规章制度等），则公司可能构成违法终止劳动合同。
赔偿的法律依据：
- 若公司违法终止劳动合同，根据《劳动合同法》第八十七条，公司应当向员工支付赔偿金。
- 赔偿金的计算方式通常为：按照员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指员工在劳动合同终止前十二个月的平均工资。
特殊情况下的赔偿：
- 如果员工在公司连续工作满十年，或者已经连续订立两次固定期限劳动合同且员工没有提出订立固定期限劳动合同的，公司应当与员工订立无固定期限劳动合同。若公司违反此规定不订立无固定期限劳动合同，员工同样有权要求赔偿。
- 在某些地区或特定情况下，如果公司未提前通知员工劳动合同终止，还可能需要支付额外的代通知金。
行动建议：
- 与公司协商：首先，你可以尝试与公司进行协商，了解公司不续签劳动合同的具体原因，并争取达成合理的赔偿协议。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，你可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金。在申请劳动仲裁时，你需要提供相关的证据材料，如劳动合同、工资单、工作证明等。
- 寻求法律援助：如果你对劳动仲裁流程不熟悉或担心自己的权益得不到保障，可以寻求专业律师的帮助。律师可以为你提供法律咨询、代理仲裁或诉讼等服务。
后续思考：
- 在处理此类劳动纠纷时，保留好相关证据材料至关重要。这些证据将有助于你证明自己的权益和主张赔偿。
- 了解当地的劳动法律法规和政策也是非常重要的。不同地区的劳动法律法规可能有所不同，因此你需要根据自己所在地的具体情况来处理劳动纠纷。
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