结论：员工在宿舍休息时突发脑出血，公司是否承担责任需根据具体情况判断，主要看是否构成工伤以及公司是否存在过错。以下从不同角度进行分析：
一、是否构成工伤
工伤认定标准：
- 根据《工伤保险条例》第十五条，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。但此条款强调的是“工作时间”和“工作岗位”，而员工在宿舍休息时突发脑出血，通常不符合这一条件。
- 若员工能证明脑出血与工作有直接关联，例如因工作过度劳累、工作压力过大等导致，但这种情况在实践中认定难度较大，需要充分的证据支持。
非工伤情况下的责任：
- 如果员工突发脑出血不被认定为工伤，那么公司通常不需要承担工伤赔偿责任。但公司仍需关注员工的健康状况，提供必要的帮助和支持，如协助送医、提供病假等。
二、公司是否存在过错
公司安全保障义务：
- 公司有义务为员工提供一个安全、健康的工作环境，包括宿舍。如果宿舍存在安全隐患，如设施老化、环境恶劣等，且这些隐患与员工突发脑出血有一定关联，公司可能需要承担一定的过错责任。
- 但这种责任通常属于民事侵权责任，而非工伤赔偿责任。员工或其家属可以通过民事诉讼途径来追究公司的责任。
公司管理责任：
- 如果公司明知员工身体状况不佳，如患有高血压等可能引发脑出血的疾病，却未采取相应措施，如调整工作岗位、安排休息等，导致员工在宿舍突发脑出血，公司也可能需要承担一定的管理责任。
三、建议与措施
及时送医并协助治疗：
- 无论是否构成工伤，公司都应第一时间将员工送医治疗，并协助其家属处理相关事宜。
收集证据并申请工伤认定：
- 如果员工或其家属认为构成工伤，应尽快收集相关证据，如医疗记录、工作记录等，并向当地社保部门申请工伤认定。
协商或诉讼解决纠纷：
- 如果公司认为自身无过错，但员工或其家属坚持要求赔偿，双方可以通过协商解决纠纷。如果协商不成，员工或其家属可以通过民事诉讼途径来追究公司的责任。
总结：员工在宿舍休息时突发脑出血，公司是否承担责任需根据具体情况判断。如果构成工伤，公司需承担工伤赔偿责任；如果不构成工伤，但公司存在过错，如宿舍安全隐患或管理不当等，公司可能需要承担一定的民事侵权责任或管理责任。建议公司在处理此类事件时，及时送医、收集证据、申请工伤认定，并通过协商或诉讼途径解决纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。