结论：是否能够认定与这家存在责任并起诉，需要结合具体情况来判断，若能证明死亡与工作或工作环境存在直接因果关系，且雇主存在过错，则可能可以起诉并要求赔偿；若无法证明存在直接因果关系或雇主无过错，则可能难以起诉成功。以下从不同角度进行分析：
一、法律关系的认定
雇佣关系：首先，需要明确的是，死者与这家之间是否存在雇佣关系。如果死者是受雇于这家，为其提供劳务，那么双方之间就形成了雇佣关系。在雇佣关系中，雇主对雇员的人身安全负有一定的保护义务。
因果关系：其次，需要判断死者的死亡（脑梗）与工作或工作环境之间是否存在直接的因果关系。脑梗通常与个人的健康状况、生活习惯等多种因素有关，但如果能证明死者的脑梗是由于工作过度劳累、工作环境恶劣（如高温、高压等）或工作中受到突发刺激等因素诱发，那么就可能认为存在因果关系。
二、雇主的责任
过错责任：在雇佣关系中，雇主通常只对因其过错导致的雇员损害承担赔偿责任。如果雇主在死者工作过程中存在过错，如未提供安全的工作环境、未合理安排工作时间导致死者过度劳累等，且这些过错与死者的死亡存在因果关系，那么雇主可能需要承担赔偿责任。
无过错责任：然而，在一般情况下，脑梗并不属于雇主应当承担无过错责任的范畴。无过错责任通常适用于一些特定的、高风险的行业或活动，如高空作业、危险物品运输等。
三、起诉的可能性与建议
起诉条件：若要起诉这家，需要满足一定的条件，包括存在明确的被告、有具体的诉讼请求和事实理由、属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖等。其中，最关键的是要能够提供充分的证据证明死者的死亡与这家存在直接的因果关系，且这家存在过错。
证据收集：建议收集与死者工作相关的证据，如工作合同、工作记录、工作环境照片或视频、目击者证言等，以及与死者死亡相关的医疗记录、鉴定报告等。这些证据将有助于证明死者的死亡与工作或工作环境之间的因果关系，以及雇主是否存在过错。
法律程序：如果决定起诉，需要按照法律程序进行，包括向人民法院提交起诉状、参加庭审、提供证据等。在这个过程中，可能需要寻求专业律师的帮助，以确保程序的合法性和有效性。
四、其他考虑因素
死者自身因素：在判断雇主责任时，还需要考虑死者自身的因素，如年龄、健康状况、生活习惯等。如果死者本身存在严重的健康问题或不良生活习惯，这些因素可能对脑梗的发作产生重要影响，从而减轻或免除雇主的责任。
保险赔偿：如果这家为死者购买了相关的保险，如工伤保险、雇主责任险等，那么死者家属还可以考虑向保险公司申请赔偿。这将有助于减轻家属的经济负担。
总结与建议：是否能够认定与这家存在责任并起诉，需要结合具体情况来判断。如果能够证明死者的死亡与工作或工作环境存在直接因果关系，且雇主存在过错，那么可能可以起诉并要求赔偿。但在这个过程中，需要收集充分的证据，并按照法律程序进行。如果对此存在疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。