关于您提出的“收养协议书是否可以私底下签”的问题，这涉及到收养行为的合法性和有效性，因此需要非常谨慎地对待。
首先，我要明确的是，收养协议书不建议私底下签订。收养是一个涉及法律、伦理和社会责任的重要行为，它关乎到被收养人的权益和未来。为了确保收养的合法性和有效性，以及保护所有相关方的权益，收养行为应当遵循严格的法律程序和规定。
在大多数国家和地区，收养都需要经过政府相关部门的登记和批准。这通常包括提交一系列的文件和证明，如收养申请书、身份证明、婚姻状况证明、经济能力证明等，以及经过相关部门的审核和调查。在这个过程中，收养协议书是必不可少的一部分，但它需要在政府相关部门的监督和指导下签订，以确保其合法性和有效性。
私底下签订收养协议书可能存在以下风险和问题：
合法性存疑：没有经过政府相关部门登记和批准的收养行为，其合法性可能受到质疑。这可能导致在未来出现法律纠纷时，无法得到法律的保护和支持。
权益无法保障：私底下签订的收养协议书可能无法充分保障被收养人的权益。例如，如果收养人未能履行抚养、教育和保护被收养人的义务，被收养人可能无法通过法律途径维护自己的权益。
社会认可度低：私底下收养可能缺乏社会的认可和尊重。这可能导致被收养人在成长过程中面临身份认同、社会融入等方面的问题。
因此，我建议您在考虑收养时，务必遵循当地的法律程序和规定，通过政府相关部门进行登记和批准。在这个过程中，您可以咨询专业的律师或社会工作者，以获取更详细和准确的指导和建议。
最后，我希望您能够理解收养行为的严肃性和重要性，以负责任的态度对待这一行为，确保所有相关方的权益得到充分的保障和尊重。