在连续签订三次一年期固定劳动合同到期后，公司并不能随意终止劳动合同。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据与核心原则
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动者与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反规章制度、给单位造成重大损害等法定过错，同时也不存在因病或非因工负伤不能胜任工作等特定情形时，若劳动者提出或同意续订劳动合同，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。这一原则同样适用于连续签订三次固定期限劳动合同的情况。
二、公司不能随意终止劳动合同的原因
无固定期限劳动合同的订立义务：在连续签订三次一年期固定劳动合同后，员工已满足连续订立二次以上固定期限劳动合同的条件，因此有权要求与公司签订无固定期限劳动合同。公司若无合法理由拒绝，并仅以合同到期为由终止劳动合同，将构成违法行为。
违法终止的后果：若公司违反规定解除或终止劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的计算依据是劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准。
三、公司可以合法终止劳动合同的特殊情况
尽管有上述规定，但在以下特定情况下，公司仍可以依法终止劳动合同：
劳动者存在法定过错：如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位工作任务造成严重影响且拒不改正等。
劳动合同期满且未续订：但需注意，若劳动者已符合订立无固定期限合同的条件而公司未与其订立，则可能构成违法终止。
劳动者开始享受基本养老保险待遇或达到法定退休年龄：此时劳动合同自动终止。
劳动者死亡或被宣告死亡、失踪：劳动合同随之终止。
用人单位被依法宣告破产、吊销营业执照等：包括被责令关闭、撤销或提前解散等情况，劳动合同也会终止，且公司应依法支付经济补偿。
四、建议与总结
对于公司而言：应严格遵守相关法律法规，确保在连续签订三次固定期限劳动合同后，与员工协商并订立无固定期限劳动合同，除非存在法定可以终止的情形。避免违法终止劳动合同带来的法律风险和经济损失。
对于员工而言：应了解自己的合法权益，包括在连续签订三次固定期限劳动合同后有权要求签订无固定期限劳动合同。若公司违法终止劳动合同，员工有权通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的权益，要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。
综上所述，连续签订三次一年期固定劳动合同到期后，公司不能随意终止劳动合同。员工有权要求签订无固定期限劳动合同，且在公司无合法理由终止时可获得双倍经济补偿。