针对您在工厂上班时手筋断裂这一工伤事故，关于工厂应如何赔偿的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、明确工伤性质与处理流程
首先，您的情况明确属于工伤事故。在事故发生后，您应立即向工厂管理层报告，并尽快前往医院接受治疗，确保伤情得到妥善处理。同时，务必保留好所有医疗单据和证明，这些将是后续工伤认定和索赔的重要依据。
二、申请工伤认定
接下来，您或工厂应在事故伤害发生后的30日内，向统筹地区的社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果工厂未按时申请，您或您的近亲属也可以在事故伤害发生之日起1年内直接提出申请。申请时，需要提交工伤认定申请表、劳动关系证明材料以及医疗机构出具的受伤诊断证明等文件。
三、进行劳动能力鉴定
在伤情稳定后，如果存在残疾或影响劳动能力的情况，您应进行劳动能力鉴定。鉴定结果将决定您的伤残等级及生活自理障碍程度，这是确定赔偿数额的关键依据。
四、了解赔偿项目与标准
根据工伤认定和劳动能力鉴定结果，您有权获得以下赔偿项目：
医疗费用：符合工伤保险诊疗项目目录、药品目录、住院服务标准的费用，将由工伤保险基金支付。
停工留薪期工资：在因工受伤需暂停工作接受医疗的期间，您的原工资福利待遇将保持不变，由工厂按月支付。停工留薪期一般不超过12个月，特殊情况可适当延长。
一次性伤残补助金：根据您的伤残等级，您将获得一次性补偿。例如，十级伤残为7个月本人工资。
伤残津贴：如果您的伤残等级较高，难以安排工作，工厂将按月发放伤残津贴。
一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金：在劳动、聘用合同终止或您提出解除时，工伤保险基金和工厂将分别支付一次性补助金，具体标准由地方政府规定。
五、与工厂协商赔偿
在获得工伤认定和劳动能力鉴定结果后，您可以与工厂管理层协商具体的赔偿事宜。如果工厂已缴纳工伤保险，大部分赔偿将由工伤保险基金支付；如果工厂未缴纳工伤保险或保险赔偿不足以覆盖全部损失，您应要求工厂进行额外赔偿。
六、法律途径维权
如果协商未果或您认为权益受到侵害，您可以寻求法律援助或咨询专业律师，通过劳动仲裁、诉讼等法律途径维护自己的合法权益。
七、特别提示
希望以上解答能够帮助您更好地了解工伤赔偿的流程和项目，确保您的权益得到充分保障。