私自抱养的孩子，在符合法定条件形成事实收养关系的情况下，是有赡养法定义务的；若未形成合法收养关系，则一般没有赡养法定义务。以下从不同情况为你详细分析：

形成事实收养关系的情况

1. 法律背景：根据相关法律规定及司法实践，在特定历史时期或符合一定条件下，虽然没有办理正式的收养登记手续，但形成了事实上的收养关系，这种关系在法律上也是被认可的。例如，在《民法典》实施前，即1992年4月1日《收养法》实施之前，如果双方共同生活多年，以父母子女相称，且被抱养的孩子与养父母之间形成了事实上的抚养教育关系，同时与生父母之间的权利义务关系已经消除，那么就可以认定为形成了事实收养关系。
2. 赡养义务的依据：一旦形成了事实收养关系，养子女与养父母之间的权利义务关系就等同于亲生父母子女之间的关系。根据《民法典》规定，成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。所以，在这种情况下，私自抱养的孩子（养子女）对养父母是有赡养的法定义务的。
3. 举例说明：小张在很小的时候就被老李夫妇私自抱养，虽然没有办理收养登记，但小张一直与老李夫妇共同生活，以父母子女相称，老李夫妇也尽到了抚养教育小张的义务，小张与生父母之间也基本没有联系。后来老李夫妇年老体弱，小张就有义务对老李夫妇进行赡养。

未形成合法收养关系的情况

1. 法律背景：如果私自抱养的行为不符合法律规定的收养条件，也没有形成事实收养关系，那么养子女与养父母之间就不存在法律上的父母子女关系。例如，抱养行为没有经过生父母的同意，或者抱养后没有与养父母共同生活，没有形成抚养教育关系等。
2. 赡养义务的缺失：在这种情况下，养子女对养父母一般没有赡养的法定义务。因为法律上的赡养义务是基于特定的亲属关系而产生的，没有合法的亲属关系，就不存在相应的赡养义务。
3. 举例说明：小王被赵某私自抱养，但小王的生父母一直不同意，且小王一直与生父母生活在一起，与赵某之间没有形成抚养教育关系。后来赵某年老，小王就没有法律上的义务对赵某进行赡养。

法律建议：如果你面临私自抱养孩子赡养义务方面的纠纷或疑问，建议你先梳理清楚抱养的具体情况，包括是否形成了事实收养关系等。如果有相关的证据材料，如共同生活的证明、抚养教育的证明等，要妥善保存。如果问题比较复杂，你可以进一步向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供更详细的法律分析和建议。