结论：若公司通过签订灵活用工合同来规避劳动关系，劳动者在符合一定条件下可以要求公司承担相应的赔偿责任。具体赔偿方式和金额需根据实际情况判断，以下从多个角度进行分析。
一、法律背景与劳动关系认定
灵活用工合同的性质：
- 灵活用工合同，通常指的是非全日制用工合同或劳务合同等，其与全日制劳动合同在工作时间、劳动报酬、社会保险等方面存在显著差异。
- 公司若通过签订灵活用工合同来规避与劳动者的全日制劳动关系，可能违反劳动法律法规的相关规定。
劳动关系的认定：
- 根据《劳动和社会保障部关于确立劳动关系有关事项的通知》等相关规定，劳动关系的认定主要基于劳动者是否接受用人单位的管理、从事用人单位安排的工作、成为用人单位的成员等因素。
- 即使签订了灵活用工合同，如果劳动者实际上与用人单位形成了全日制劳动关系，那么该合同可能被视为无效或部分无效，劳动者仍有权要求用人单位承担相应的劳动法律责任。
二、赔偿要求与法律依据
未签订书面劳动合同的赔偿：
- 如果公司未与劳动者签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》的规定，劳动者有权要求公司支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额。
- 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × 未签订书面劳动合同的月数（最多不超过11个月）。
未缴纳社会保险的赔偿：
- 如果公司未为劳动者缴纳社会保险，劳动者有权要求公司补缴社会保险费用，并可能根据地方规定要求公司支付相应的滞纳金或罚款。
- 此外，如果因未缴纳社会保险导致劳动者无法享受社会保险待遇，劳动者还有权要求公司赔偿相应的损失。
违法解除劳动关系的赔偿：
- 如果公司以灵活用工合同为由违法解除与劳动者的劳动关系，劳动者有权要求公司支付违法解除劳动关系的赔偿金。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿金 × 2 = 月工资 × 工作年限 × 2（工作年限超过6个月的按1年计算，不足6个月的按0.5年计算）。
三、实际操作与建议
收集证据：
- 劳动者应收集与劳动关系相关的证据，如工作证、工资条、考勤记录、工作邮件等，以证明自己与公司之间存在劳动关系。
协商与调解：
- 在提起劳动仲裁或诉讼前，劳动者可以尝试与公司进行协商或调解，以寻求双方都能接受的解决方案。
提起劳动仲裁或诉讼：
- 如果协商或调解无果，劳动者可以向当地劳动仲裁委员会提起劳动仲裁，要求公司承担相应的赔偿责任。
- 对劳动仲裁结果不服的，劳动者还可以向法院提起诉讼。
四、注意事项
- 劳动者在要求赔偿时，应注意保留好相关证据，并确保自己的诉求在法律规定的范围内。
- 不同地区的劳动法律法规可能存在差异，劳动者在提起劳动仲裁或诉讼前，应了解当地的具体规定。
总结：公司通过签订灵活用工合同来规避劳动关系是违法的，劳动者在符合一定条件下可以要求公司承担相应的赔偿责任。具体赔偿方式和金额需根据实际情况判断，并建议劳动者在要求赔偿时咨询专业律师（即我本人，喻燕立律师，专注于建设工程、劳动纠纷领域），以确保自己的权益得到充分保障。