关于“什么单位管劳动合同”的问题，这实际上涉及到了劳动合同的管理部门以及可以签订劳动合同的单位类型两个方面。下面我将为您详细解答：
一、可以签订劳动合同的单位类型
在中华人民共和国境内，可以与劳动者签订劳动合同的单位范围广泛，主要包括以下几类：
企业：包括国有企业、集体企业、私营企业（如公司、个人独资企业、合伙企业）、外商投资企业（中外合资企业、中外合作企业、外商独资公司）等。这些企业在生产经营活动中需雇佣劳动者，并通过签订劳动合同明确双方权利义务。
个体经济组织：通常指雇工在7人以下的个体工商户。在经营过程中雇佣劳动者时，同样需签订劳动合同以规范劳动关系。
民办非企业单位：如民办学校、民办医院、民办养老院等，这些单位在提供社会服务时需雇佣工作人员，并通过签订劳动合同来确立劳动关系。
国家机关、事业单位和社会团体：包括各级权力机关、行政机关、司法机关等国家机关，以及为社会公益目的而设立的事业单位（如教育、科技、文化、卫生等活动的社会服务组织）和社会团体（如行业协会、商会、基金会等）。这些单位在履行公共管理和服务职能或开展活动时，可雇佣工作人员并签订劳动合同。
特殊类型经济组织：如租赁经营、承包经营的企业，以及依法取得营业执照或登记证书的用人单位分支机构，也具备签订劳动合同的资格。
二、管理劳动合同的相关部门
管理劳动合同的相关事务涉及多个部门，它们各司其职，共同确保劳动合同的合法性和有效性，维护劳动者的合法权益。主要包括：
人力资源与社会保障局（人社局）：负责制定和完善劳动法律法规，监督劳动合同的签订、履行、变更及解除等环节。其下属的劳动争议仲裁机构还负责处理劳动合同相关争议。
劳动监察部门：作为人社局的下属机构，专门负责督促用人单位遵守劳动法律法规，对劳动合同的执行情况进行全面检查，并接受劳动者对用人单位违法行为的投诉举报。
劳动争议仲裁委员会：负责处理劳动者与用人单位之间的劳动争议，通过接受申请、调查取证、组织调解或开庭审理等程序，确保争议得到妥善解决。
工会：作为劳动者代表组织，有权参与劳动合同制度的监督管理工作，发表意见并维护劳动者的合法权益。工会还为劳动者提供法律援助和宣传教育等服务。
企业人力资源管理部门：在企业内部负责起草、审核劳动合同文本，组织签订劳动合同，并建立和管理劳动合同档案。同时处理劳动合同的变更、解除事宜，协调企业内部劳动关系。
有关行业主管部门：在各自职责范围内，对用人单位执行劳动合同制度的情况进行监督管理，确保行业内劳动关系的合法合规。
综上所述，可以签订劳动合同的单位类型多样，而管理劳动合同的相关部门也涉及多个层面。各部门应各司其职，密切配合，共同构建和谐的劳动关系。希望这些解答能够帮助您更好地理解劳动合同的相关问题。