劳动保障行政部门在特定情形下确实可以要求单位支付违法解除赔偿金。以下是对此问题的详细分析：
法律依据与行政职权
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。劳动保障行政部门作为劳动法律法规的执行和监督机构，有权对用人单位的违法行为进行查处，并要求用人单位承担相应的法律责任。
行政处理流程
投诉与受理：劳动者认为用人单位违法解除劳动合同的，可以向劳动保障行政部门投诉。劳动保障行政部门在收到投诉后，会进行初步审查，决定是否受理。
调查与取证：受理投诉后，劳动保障行政部门会展开调查，收集相关证据，包括劳动合同、解除劳动合同的通知、工资单等，以确认用人单位是否存在违法解除劳动合同的行为。
行政处理决定：如果调查确认用人单位存在违法解除劳动合同的行为，劳动保障行政部门会依法作出行政处理决定，要求用人单位支付违法解除赔偿金。这一决定具有法律效力，用人单位必须履行。
执行与监督：劳动保障行政部门会监督用人单位履行行政处理决定，确保劳动者获得应有的赔偿。如果用人单位不履行，劳动保障行政部门可以采取进一步的法律措施，如申请法院强制执行。
劳动者维权途径
除了向劳动保障行政部门投诉外，劳动者还可以选择通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益。劳动仲裁是一种相对快速、简便的解决劳动争议的方式，而诉讼则是通过法院来解决争议，具有更强的法律效力和执行力。
注意事项
证据收集：劳动者在投诉或申请劳动仲裁、诉讼时，应尽可能收集并保存好相关证据，如劳动合同、解除劳动合同的通知、工资单等，以证明用人单位存在违法解除劳动合同的行为。
时效性：劳动者应注意投诉或申请劳动仲裁、诉讼的时效性，避免超过法定的时效期间而丧失维权的机会。
专业咨询：由于劳动法律法规较为复杂，劳动者在维权过程中可能会遇到各种问题。因此，建议劳动者在必要时咨询专业律师，以获得更全面、准确的法律建议。
总结来说，劳动保障行政部门在确认用人单位存在违法解除劳动合同的行为后，有权要求用人单位支付违法解除赔偿金。劳动者在维权过程中应积极收集证据、注意时效性，并在必要时咨询专业律师。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。