在起诉子女不赡养但子女下落不明的情况下，可以采取以下几种方式来寻找其下落：

1. 利用户籍信息：

   • 首先，可以前往子女户籍所在地的公安机关，查询其户籍登记信息，包括最后一次的居住地址、联系方式等。虽然子女可能已经迁移或更改了联系方式，但户籍信息往往是一个重要的起点。

2. 委托律师调查：

   • 作为律师，我可以协助你向法院申请调查令，或者利用法律途径委托专业的调查机构，通过合法手段查找子女的下落。这包括查询其银行账户、社保记录、房产信息等，这些信息往往能反映出一个人的生活轨迹。

3. 利用社交媒体和网络平台：

   • 在现代社会，社交媒体和网络平台是人们交流的重要渠道。可以尝试在子女可能使用的社交媒体平台上发布寻人信息，或者通过其亲友、同事等间接联系到子女。同时，也可以利用一些专业的寻人网站或论坛，发布寻人启事。

4. 公告送达与缺席判决：

   • 如果经过上述努力仍然无法找到子女的下落，可以向法院申请公告送达。公告送达是一种法律上的送达方式，即在无法直接送达的情况下，通过公告的方式将法律文书送达给当事人。在公告期满后，如果子女仍然未出现，法院可以依法进行缺席判决。但需要注意的是，缺席判决并不意味着子女不需要承担赡养义务，判决结果仍然具有法律效力。

5. 寻求社区和亲友的帮助：

   • 不要忽视社区和亲友的力量。他们可能知道子女的最新动态或联系方式，或者能够提供一些有用的线索。与他们保持沟通，寻求他们的帮助和支持。

在寻找子女下落的过程中，建议保持冷静和耐心。同时，也要确保自己的行为合法合规，不要采取过激或违法的手段来寻找子女。如果在这个过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。