结论：肇事司机是否承担责任，需结合具体情况判断，主要看其交通肇事行为与患者死亡结果之间是否存在因果关系。以下分情况详细说明：
一、若肇事司机交通肇事行为与患者死亡存在直接因果关系
法律背景：
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，构成交通肇事罪。
- 在交通肇事案件中，如果肇事者的行为直接导致了受害者的死亡，那么肇事者需要承担相应的刑事责任和民事赔偿责任。
具体分析：
- 如果患者因肇事司机的交通肇事行为而受伤住院，且该伤害是导致患者死亡的主要原因，那么肇事司机需要承担责任。
- 即便患者因经济原因无法继续治疗而选择出院并最终死亡，这并不改变肇事司机交通肇事行为与患者死亡之间的因果关系。
法律后果：
- 肇事司机可能面临刑事指控，如交通肇事罪，并可能受到刑罚处罚。
- 肇事司机还需承担民事赔偿责任，包括赔偿患者的医疗费、丧葬费、死亡赔偿金等。
二、若肇事司机交通肇事行为与患者死亡不存在直接因果关系
法律背景：
- 因果关系是认定交通肇事罪和民事赔偿责任的重要前提。如果肇事者的行为与受害者的死亡之间没有直接的因果关系，那么肇事者通常不需要承担刑事责任和民事赔偿责任。
具体分析：
- 如果患者因自身疾病、其他意外事件或故意行为导致死亡，且这些原因与肇事司机的交通肇事行为无关，那么肇事司机可能不需要承担责任。
- 例如，如果患者因突发心脏病而死亡，且该心脏病与肇事司机的交通肇事行为无关，那么肇事司机通常不需要承担责任。
特殊情况：
- 即便肇事司机的交通肇事行为不是导致患者死亡的直接原因，但如果其行为加重了患者的伤情或延误了治疗时机，从而间接导致了患者的死亡，肇事司机仍可能需承担一定的责任。这种情况下，责任的承担需根据具体案情和证据来判断。
三、建议与行动
收集证据：
- 对于患者家属来说，收集与事故相关的所有证据至关重要，包括事故现场照片、医疗记录、证人证言等。这些证据将有助于确定肇事司机的责任。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂案件时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。律师可以根据案情和证据，为患者家属提供全面的法律分析和诉讼策略。
考虑和解或诉讼：
- 根据案件具体情况和律师建议，患者家属可以考虑与肇事司机或其保险公司进行和解谈判，或者通过法律途径提起诉讼以维护自身权益。
最后，每个交通肇事案件都有其独特的事实和法律问题。因此，在处理此类案件时，务必根据具体情况进行详细分析，并咨询专业律师以获取准确的法律建议。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。