当孩子被打伤而警察没有立即采取抓捕行动时，作为家长或监护人，您确实会感到非常担忧和不安。但请保持冷静，我们可以按照以下步骤来有效维护孩子的合法权益：

一、明确要求警方立案调查

首先，您有权要求警方对案件进行立案调查。详细向警方说明事件的经过，包括具体的时间、地点、施暴者的信息，以及可能的目击者等。确保警方能够充分了解情况，这是推动案件处理的第一步。如果警方初次拒绝立案，您应要求他们出具不予立案通知书，并询问具体理由。根据这些理由，您可以进一步提供证据或解释，争取让警方重新考虑立案。

二、与警方平和沟通，了解未处理原因

接下来，以平和的态度与出警民警进行沟通，了解他们未处理或暂不处理的理由。有时候，可能存在误解或信息不全的情况。通过进一步沟通，您可以详细说明孩子被打的具体情节和伤害后果，促使警方重新审视案件，并依法进行处理。

三、向上级机关或检察机关反映情况

如果与出警民警的沟通没有结果，您可以考虑向该民警所属公安机关的上级机关进行反映。您可以通过口头方式详细说明情况，也可以撰写书面投诉材料，内容包括事件发生的时间、地点、经过以及报警后警察的处理情况等，递交给相关部门。此外，您还可以拨打全国公安机关专用举报电话12389，对警方的不作为进行举报投诉。同时，人民检察院对公安机关的立案活动有监督权，您也可以向当地人民检察院的控告申诉部门提出申诉，要求检察机关对公安机关的不作为进行监督，并提交相关证据材料。

四、寻求专业法律帮助

在这个过程中，咨询专业的律师是非常重要的。律师会根据具体情况给出建议，帮助您制定合适的维权策略。如果经济条件允许，您还可以聘请律师代理案件，以确保权益得到充分保护。

五、寻求其他部门协助与舆论支持

除了上述途径外，您还可以向当地政府的信访部门反映情况。信访部门会根据情况进行协调和督办，推动问题的解决。在确保情况真实准确且不侵犯他人隐私的前提下，您还可以通过合法、适当的方式向媒体反映情况，借助舆论的力量引起相关部门的重视。但请注意避免不实信息的传播。

六、保留证据并关注孩子身心健康

在整个过程中，保留好与案件相关的各种证据至关重要。包括现场视频、音频资料，与警察沟通的记录，孩子受伤的照片，医院诊断证明等。这些证据将在后续维权过程中发挥重要作用。同时，请保持冷静和理性，避免情绪化的行为或言辞对维权造成不利影响。关注孩子的心理状态，及时给予安慰和支持，帮助他们度过困难时期。

综上所述，面对孩子被打伤且报警后警方未予立即处理的情况，您应坚持维护自己的权益，通过合法途径寻求帮助和支持。同时，关注孩子的身心健康，确保他们能够尽快走出阴影。