结论：在仅造成财产损失且双方无争议，其中一方严重的情况下，双方是可以自行协商解决的，但需注意协商的合法性和有效性，并考虑是否需要签订书面协议或进行公证。
分析说明：
自行协商的合法性：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，民事主体有权在法律允许的范围内自由处分自己的民事权利。因此，在仅造成财产损失且双方无争议的情况下，双方完全有权自行协商解决赔偿事宜。
自行协商的有效性：
- 自行协商达成的赔偿协议，只要双方意思表示真实，不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，即具有法律效力。这意味着，一旦双方就赔偿事宜达成一致，并签订了书面协议（如果可能的话），该协议就对双方具有约束力，双方应当履行。
签订书面协议的重要性：
- 尽管口头协议在法律上也是有效的，但为了避免未来可能出现的纠纷，建议双方在协商一致后签订书面协议。书面协议可以明确双方的权利和义务，包括赔偿金额、支付方式、支付时间等关键条款，从而为双方提供更强的法律保障。
公证的考虑：
- 如果赔偿金额较大或双方对协议内容存在疑虑，可以考虑对书面协议进行公证。公证是由公证机构根据自然人、法人或者其他组织的申请，依照法定程序对民事法律行为、有法律意义的事实和文书的真实性、合法性予以证明的活动。公证后的协议具有更强的证据效力，可以在未来可能出现的纠纷中作为有力证据。
特殊场景：
- 如果其中一方严重受损，但双方仍然能够保持理性沟通，并就赔偿事宜达成一致，那么自行协商解决仍然是一个可行的选择。然而，如果受损方因伤势严重而无法亲自参与协商，或者双方对赔偿事宜存在争议，那么可能需要寻求第三方调解或通过法律途径解决。
行动建议：
- 在自行协商解决赔偿事宜时，建议双方保持冷静和理性，充分沟通并明确各自的权利和义务。
- 如果可能的话，签订书面协议并考虑进行公证，以增强协议的法律效力和证据效力。
- 如果双方无法就赔偿事宜达成一致，或者受损方因伤势严重而无法亲自参与协商，那么建议寻求第三方调解或通过法律途径解决。
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