结论前置：用人单位已经支付了工资但未与劳动者签订书面劳动合同，根据法律规定，用人单位需向劳动者支付双倍工资作为赔偿，并可能面临其他法律责任。劳动者有权通过协商、仲裁、诉讼等途径维护自己的合法权益。以下是对此问题的详细分析：
一、赔偿依据与适用条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条和第八十二条的规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定明确了用人单位未签订劳动合同的法律责任，即支付双倍工资。
二、赔偿计算方式
双倍工资赔偿：
- 计算基数：劳动者的应得工资，这包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。
- 计算期间：从用工满一个月的次日起，至补订书面劳动合同的前一日止，但最长不超过十一个月。例如，若劳动者月工资为5000元，用人单位自用工之日起第二个月起未与其签订劳动合同，持续6个月，则需额外支付30000元（即5000元/月 × 6个月）作为双倍工资差额。
视为无固定期限劳动合同后的赔偿：
- 若自用工之日起满一年未订立书面劳动合同，则视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。但用人单位仍需支付自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日期间的双倍工资。
三、其他可能的赔偿与责任
经济补偿金：
- 若因用人单位未签订劳动合同等违法情形导致劳动者解除劳动合同，用人单位还需按劳动者在本单位工作年限支付经济补偿金。具体标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
补缴社会保险：
- 用人单位应为劳动者缴纳社会保险。若未签订劳动合同期间未缴纳的，劳动者有权要求用人单位补缴。
其他损失赔偿：
- 若劳动者因未签订劳动合同遭受其他损失，如工伤待遇损失，可要求用人单位承担相应赔偿责任。
四、劳动者维权途径
协商解决：
- 劳动者首先可以尝试与用人单位沟通协商，要求其支付双倍工资差额、补缴社会保险等，并补签书面劳动合同。
向劳动监察部门投诉：
- 若协商不成，劳动者可向当地劳动监察部门投诉，由其对用人单位进行调查并责令改正违法行为。
劳动仲裁：
- 劳动者也可直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付双倍工资差额及其他赔偿。仲裁时效为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不服，劳动者可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
五、用人单位应对建议
立即补签劳动合同：
- 用人单位应尽快与劳动者补签书面劳动合同，以避免进一步的法律责任。
积极协商赔偿：
- 若劳动者已提出赔偿要求，用人单位应积极与其协商，尽量达成和解协议，减少法律纠纷。
完善用工管理：
- 用人单位应加强用工管理，确保所有劳动者都签订书面劳动合同，并妥善保存相关证据，以应对可能的法律纠纷。
作为用人单位，应当严格遵守劳动法律法规，及时与劳动者签订书面劳动合同，以维护双方的合法权益。若遇到类似问题，建议用人单位积极应对，通过合法途径解决纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。