医院是否需对私人用护工的死亡承担责任，需根据具体情况判断，核心在于医院是否存在过错以及该过错与护工死亡之间是否存在因果关系。以下分情况说明：
若护工与医院存在劳动关系或雇佣关系
- 劳动关系：若护工受医院直接雇佣，双方构成劳动关系。根据《工伤保险条例》，护工在工作时间和工作场所内因工作原因受到事故伤害死亡的，应认定为工伤，医院需承担工伤保险责任，包括支付丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
- 雇佣关系：若护工与医院构成雇佣关系（如非全日制用工），根据《民法典》侵权责任编，医院作为雇主，若因未提供安全的工作环境、未履行必要的安全保障义务等过错导致护工死亡，需承担相应的赔偿责任。
若护工与医院不存在直接劳动关系或雇佣关系，但医院存在过错
- 第三方侵权：若护工的死亡系由第三方（如患者、家属或其他人员）的侵权行为导致，且医院未尽到安全保障义务（如未及时制止侵权行为、未提供必要的救助等），医院可能需根据其过错程度承担相应的补充赔偿责任。
医院设施或管理缺陷：若护工的死亡系因医院设施存在安全隐患（如地面湿滑、设备故障等）或医院管理存在缺陷（如未对护工进行必要的安全培训、未提供必要的防护装备等）导致，医院需根据其过错程度承担相应的赔偿责任。
若护工的死亡与医院无关
- 自身疾病或意外：若护工的死亡系因其自身疾病或意外事件（如突发心脏病、自杀等）导致，且医院不存在任何过错，则医院无需承担法律责任。
完全第三方行为：若护工的死亡系由完全独立的第三方行为导致（如交通事故、自然灾害等），且医院不存在任何过错，则医院同样无需承担法律责任。
建议：若发生此类事件，建议家属及时收集相关证据（如现场照片、监控录像、证人证言等），并咨询专业律师，以便更准确地判断医院是否需承担责任及责任范围。如有具体法律问题，可直接向我咨询。