核心结论：打人者在追赶孩子过程中受伤，其责任承担需根据具体情况分析，可能存在以下几种情况：
若打人者因自身过错受伤：
- 责任自负：如果打人者在追赶过程中，因自身疏忽或故意行为导致受伤，例如自己不小心摔倒、碰撞到障碍物等，那么其受伤的后果应由自己承担。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。但在此情况下，打人者是自身权益的侵害者，且受伤是由于自己的过错导致，因此不构成对他人权益的侵害，无需他人承担责任。
- 举例说明：如打人者在追赶时，因跑得太快而摔倒受伤，或者因未注意路面情况而撞到电线杆等，这些情况下打人者均需自行承担受伤的责任。
若孩子存在过错导致打人者受伤：
- 孩子或其监护人可能承担部分责任：如果孩子在被打后逃跑过程中，存在故意或过失行为导致打人者受伤，例如孩子故意设置障碍物绊倒打人者，或者孩子逃跑时慌不择路撞到打人者等，那么孩子或其监护人可能需要根据过错程度承担相应的赔偿责任。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十八条的规定，无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。
- 责任比例需具体分析：在确定孩子或其监护人是否承担责任以及承担多少责任时，需要综合考虑孩子的年龄、认知能力、行为性质以及打人者的受伤程度等因素。如果孩子的行为属于正当防卫或紧急避险，且未超过必要限度，那么孩子或其监护人可能无需承担责任。
若双方均无过错，但存在公平责任：
- 可能适用公平责任原则：在某些特殊情况下，如果打人者和孩子均无过错，但打人者因追赶孩子而受伤，且受伤后果较为严重，那么根据公平责任原则，法院可能会酌情判决孩子或其监护人给予打人者一定的经济补偿。但这种情况较为罕见，且补偿金额通常较低。
- 公平责任原则的适用条件：公平责任原则的适用需要满足双方均无过错、受害方遭受了较大损失且加害方受益较小或未受益等条件。在追赶过程中受伤的情况下，这些条件通常难以同时满足。
建议：
- 对于打人者而言，如果受伤严重，应及时就医并保存好相关医疗证据，以便后续维权。同时，应反思自己的行为是否合法合规，避免再次发生类似事件。
- 对于孩子及其监护人而言，如果打人者提出索赔要求，应积极与对方沟通协商，必要时可寻求法律援助或咨询专业律师以维护自身权益。同时，也应加强对孩子的教育和监管，避免孩子参与或引发不必要的冲突和纠纷。