面对您当前遇到的私家车撞人后，对方住院而肇事方和保险公司均未出面的情况，您可以按照以下步骤来妥善处理，以确保自身权益得到合理维护：

一、立即报警并保护现场

1. 报警：事故发生后，应第一时间报警，这是法律规定的义务，也是后续处理的基础。准确向警方报告事故发生的时间、地点、人员伤亡及车辆情况。
2. 保护现场：在等待警方到来的过程中，尽量保护现场不被破坏，以便交警进行现场勘查，为后续的事故责任认定提供依据。

二、积极收集和整理证据

1. 医疗证据：与主治医生深入沟通，了解伤者的实际康复情况，并获取医院出具的病历资料、诊断证明、治疗报告及医疗费用发票等官方文件。
2. 事故证据：收集事故现场的照片、视频，以及可能的证人证言，这些证据对于确定事故责任和计算赔偿金额至关重要。
3. 其他证据：如与肇事方的通讯记录（如短信、微信聊天记录）等，以证明您已尝试与对方沟通但未果。

三、主动与保险公司沟通

1. 了解流程：详细询问保险公司的理赔流程、所需材料及时间节点，确保您了解整个理赔过程。
2. 提出协商：要求保险公司到医院或指定地点进行当面协商，明确表达您的赔偿诉求，并记录沟通情况。
3. 投诉途径：若保险公司不积极回应或拒绝协商，您可以向其上级部门或相关监管机构投诉，以促使保险公司尽快处理。

四、与肇事司机沟通

1. 直接联系：通过交警部门获取肇事司机的联系方式，冷静理性地与对方沟通赔偿事宜，表达您的合理诉求。
2. 书面通知：若直接联系无果，可发送书面通知，明确赔偿要求、协商时间及地点，并保留快递单据作为送达证据。

五、寻求交警部门的帮助

1. 反映情况：向交警部门详细反映肇事司机和保险公司的不作为情况，请求交警部门介入调解。
2. 参加调解：在交警部门组织的调解中，详细陈述您的损失情况，提供充分证据，争取达成赔偿协议。

六、咨询专业律师并考虑法律途径

1. 法律咨询：面对复杂情况，建议咨询专业的交通事故律师，获取专业的法律建议，了解您的权益和可能的法律途径。
2. 提起诉讼：若协商和调解均无效，您可以在律师的协助下向人民法院提起民事诉讼，将肇事司机和保险公司列为共同被告，要求法院对赔偿金额进行合理认定。
3. 诉讼准备：在提起诉讼前，准备充分的证据材料，包括事故认定书、医疗记录、费用清单等，确保诉讼过程中的证据链完整。

七、保持冷静与理智

在整个处理过程中，务必保持冷静和理智，依法依规处理问题。避免因情绪化行为导致矛盾升级，影响后续的处理和赔偿。

总结与建议

面对此类交通事故赔偿争议，关键在于证据的收集和保存，以及与各方的有效沟通。首先，通过报警和保护现场为后续处理奠定基础；其次，积极收集各类证据以确保赔偿请求的合理性；在与保险公司和肇事司机沟通时保持冷静理性；若协商无果，及时寻求交警部门的调解或咨询专业律师通过法律途径维护自身权益。希望这些建议能帮助您妥善处理当前的问题。