一个工伤牵连三家公司时，劳动者可以按照以下步骤进行劳动仲裁：
一、明确责任主体与劳动关系
确认劳动关系：
- 首先，需要明确与哪家公司存在实际的劳动关系。这通常通过劳动合同、工资发放记录、社保缴纳记录等证据来确定。
- 如果与多家公司都存在形式上的劳动关系（如关联公司、劳务派遣等），则需要进一步分析实际的工作安排、管理关系等，以确定真正的用人单位。
分析责任主体：
- 在工伤事故中，责任主体通常是用人单位。如果工伤事故与多家公司有关，需要分析各公司在事故中的责任大小。
- 例如，如果一家公司是实际用人单位，另一家公司是劳务派遣单位，那么根据《劳务派遣暂行规定》，劳务派遣单位应当依法为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，并履行用人单位对劳动者的义务。如果工伤事故是由于实际用人单位的过错导致的，那么实际用人单位和劳务派遣单位可能需要承担连带责任。
二、收集证据材料
工伤认定材料：
- 包括工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等。
劳动关系证明材料：
- 如劳动合同、工资单、社保缴纳记录、工作证、考勤记录等，以证明与哪家公司存在劳动关系。
其他相关证据：
- 如事故现场照片、视频、证人证言等，以证明工伤事故的发生经过和原因。
三、选择仲裁机构与提交申请
选择仲裁机构：
- 根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议由劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会管辖。因此，可以选择与劳动关系最密切的公司所在地或劳动合同履行地的劳动争议仲裁委员会进行仲裁。
- 如果涉及多家公司且分别位于不同地区，可能需要考虑向哪个仲裁机构提交申请更有利于维护自身权益。这通常需要根据各公司的责任大小、证据材料的收集情况等因素进行综合判断。
提交仲裁申请：
- 撰写仲裁申请书，明确仲裁请求（如要求确认劳动关系、要求支付工伤待遇等）、事实和理由，并附上相关证据材料。
- 向选定的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并按照仲裁委员会的要求缴纳仲裁费用。
四、参与仲裁程序与维护权益
参与仲裁程序：
- 按照仲裁委员会的通知参加仲裁庭审，陈述事实、提供证据、进行辩论等。
- 在仲裁过程中，可以委托律师代理仲裁事务，以更好地维护自身权益。
维护权益：
- 如果仲裁裁决支持了劳动者的仲裁请求，那么用人单位应当履行裁决义务。如果用人单位不履行裁决义务，劳动者可以向人民法院申请强制执行。
- 如果仲裁裁决未支持劳动者的仲裁请求或部分支持，劳动者可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，以进一步维护自身权益。
五、特殊情况处理
- 如果多家公司存在关联关系或共同责任：在仲裁或诉讼过程中，可以要求多家公司承担连带责任或按份责任。这需要根据具体案情和法律规定进行分析和判断。
- 如果涉及劳务派遣或业务外包等复杂情况：需要仔细分析劳务派遣协议或业务外包合同等文件，以确定各方的权利和义务关系，并据此确定责任主体和仲裁策略。
在实际操作中，每个工伤案件的具体情况都有所不同。因此，在处理涉及多家公司的工伤仲裁案件时，建议劳动者及时咨询专业律师，以便更好地了解自身权益和维权策略。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。