结论：在出租车司机与私家车主发生交通事故的情况下，一般不能直接责成交通运输局联系出租车司机进行后续处理。交通事故的处理主要依据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关实施条例，这些法规并未赋予交通运输局直接联系事故当事人进行后续处理的职责。
详细分析：
交通事故处理的主管部门：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十二条，公安机关交通管理部门是交通事故处理的主管部门，负责现场勘查、调查取证、责任认定等工作。
- 交通运输局主要负责交通运输行业的监管，如道路运输经营许可、运输市场秩序维护等，并不直接参与交通事故的具体处理。
交通运输局的职责范围：
- 交通运输局在交通事故中的角色更多是间接的，如可能参与事故后的运输市场秩序恢复、对涉事运输企业的监管等。
- 它并不具备直接联系事故当事人（如出租车司机）进行后续处理的法律职责。
事故后续处理的正确途径：
- 事故发生后，当事人应首先报警，由公安机关交通管理部门进行现场勘查和责任认定。
- 根据责任认定结果，当事人可以协商赔偿事宜，或通过诉讼等法律途径解决争议。
- 在此过程中，如果涉及出租车公司的管理问题（如司机违规操作、车辆维护不当等），当事人可以向交通运输局投诉或举报，但这与直接联系出租车司机进行后续处理是不同的。
特殊情况下的处理：
- 如果出租车司机在事故中存在严重违规行为（如逃逸、酒驾等），交通运输局可能会根据相关法规对出租车公司或司机进行处罚，但这仍然不涉及直接联系司机进行后续处理。
- 在某些情况下，如果事故涉及公共交通秩序或安全，交通运输局可能会与公安机关交通管理部门协同工作，但这并不改变其不直接处理事故后续事宜的职责。
建议：
- 如果您作为私家车主与出租车司机发生了交通事故，建议首先报警并等待公安机关交通管理部门的处理。
- 在处理过程中，您可以保留好相关证据（如现场照片、视频、证人证言等），以便在需要时维护自己的合法权益。
- 如果您对事故处理结果有异议或认为出租车司机存在违规行为，可以向交通运输局投诉或举报，但请明确这并不等同于直接联系出租车司机进行后续处理。
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