在租用私家车和司机的情况下，如果发生事故，责任的承担需根据具体情况来判断。以下是对此问题的详细分析：
承租人（租车人）的责任：
- 一般情况下，如果租车人具有合法驾驶资格，且车辆不存在质量问题，发生事故后由租车人承担赔偿责任。这是因为租车人在租赁期间对车辆拥有直接的控制权和使用利益，因此应对其驾驶行为负责。
- 如果租车人存在酒驾、无证驾驶等违法情形，或者擅自转租、交给无驾驶资格或驾驶能力缺陷的第三人驾驶，导致事故，租车人应承担主要责任。
车辆所有人（出租人）的责任：
- 若车辆所有人对损害的发生存在过错，如提供存在安全隐患的车辆、未审查租车人驾驶资格等，也需承担相应的赔偿责任。
- 车辆所有人有义务提供符合安全标准的车辆，若因车辆故障导致事故，且车辆所有人明知或应知此故障而未告知租车人，车辆所有人应承担与其过错相应的赔偿责任。
保险责任：
- 如果车辆投保了交强险和商业险，事故损失应先由承保机动车强制保险的保险人在强制保险责任限额范围内赔偿；不足部分，由承保机动车商业保险的保险人按照保险合同的约定予以赔偿；仍然不足或者没有投保机动车商业保险的，由侵权人（通常为租车人，但有过错的车辆所有人需按过错比例承担）予以赔偿。
特殊情形：
- 如果事故是由第三人造成的，比如被其他车辆追尾，那么责任应由第三人承担。租车人或车辆所有人可先向第三人主张赔偿。
- 在盗窃、抢劫或抢夺驾驶车辆的情形下发生交通事故，由盗窃人、抢劫人或者抢夺人承担赔偿责任。若与机动车使用人不是同一人，则两者承担连带责任。
综上所述，租用私家车和司机出了事故，责任的承担需综合考虑多种因素，包括租车人和车辆所有人的行为、车辆状况、保险情况等。为确保权益，建议在租车前仔细检查车辆状况，确保车辆安全可靠；同时，车辆所有人也应严格审查租车人驾驶资格，提供符合安全标准的车辆，并在租赁合同中明确责任条款以避免纠纷。如果发生事故，应及时报警、保护现场、救治伤员并通知保险公司和相关部门，以便妥善处理后续事宜。如有需要，可直接向我咨询以获取准确的法律意见和帮助。