当工厂搬迁且不愿意给员工支付一年一个月的赔偿金时，员工可以采取以下步骤来维护自己的合法权益：
一、明确自身权益和法定情形
仔细审查劳动合同：
- 确认劳动合同中关于工作地点的约定，以及搬迁是否导致工作地点变更超出合同约定范围。
- 查看劳动合同中是否有关于工厂搬迁或经济补偿的明确条款。
了解法定赔偿情形：
- 根据《劳动合同法》，如果工厂的搬迁致使劳动合同无法继续履行，且双方未能就变更劳动合同达成一致意见，工厂就有义务支付经济补偿金。
- 经济补偿金通常按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资。
二、与工厂进行协商
保持冷静和理性：
- 在与工厂沟通时，保持平和的态度，避免情绪化的冲突。
详细阐述诉求和法律依据：
- 向工厂明确说明自己的诉求，即要求支付经济补偿金，并阐述相关的法律依据。
- 可以提供《劳动合同法》的相关条款作为支持，让工厂了解其应承担的法律责任。
努力达成赔偿协议：
- 通过友好的沟通方式，争取与工厂达成赔偿协议，避免进一步的法律纠纷。
三、申请仲裁或提起诉讼
向劳动争议调解仲裁机构申请仲裁：
- 如果协商无果，员工可以向当地的劳动争议调解仲裁机构申请仲裁。
- 在申请仲裁时，需要提供充分的证据来支持自己的诉求，如劳动合同、工资支付记录、工厂搬迁通知等。
准备相关证据：
- 证据应能够证明员工与工厂之间的劳动关系、劳动付出和应得报酬、搬迁事实以及对劳动合同履行的影响等。
- 这些证据将有力地支持员工的诉求，证明其权益确实受到了侵害。
对仲裁结果不满意可提起诉讼：
- 如果员工对仲裁结果不满意，可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。
- 法院会依据具体的事实情况和法律规定作出公正的判决。
四、其他途径
- 向劳动监察部门投诉：
- 员工还可以选择向当地的劳动监察部门投诉工厂的违法行为。
- 劳动监察部门有权责令工厂限期支付经济补偿金，逾期不支付的，还可以责令用人单位按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金。
综上所述，员工在面对工厂搬迁且不愿支付赔偿金的情况时，应通过合法的途径来维护自己的合法权益。务必保持冷静和理性，积极与工厂进行协商，并准备好相关证据以支持自己的诉求。如果协商无果，可以及时向劳动争议调解仲裁机构申请仲裁或向人民法院提起诉讼。